可分離變數的偏微分方程(PDE)是指一種偏微分方程,在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題,若可以簡化為一維的問題,甚至可以用變成常微分方程。
分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函數的積,而每個函數只有一個自變量。例如給予一個
元函數
的偏微分方程,猜想解答的形式為
。
這是一種特別的分離變數法,稱為
-分離變數法,此方式是將解寫成和座標有關的固定函數,以及以各座標為自變量函數的乘積。
上的拉普拉斯方程是一個可以用
-分離變數法求解的偏微分方程的例子,在三維空間下會用六維球面座標轉換來求解。
偏微分方程的分離變數法和常微分方程的分離變數法不同,後者是指問題可以變成二個積分相等的形式。
例如,考慮非時變的薛定諤方程
![{\displaystyle [-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab61a33bb9e3ffad587e95036e68561f1d9884e)
針對函數
(為簡化問題,其為無因次量)(等效的作法是考慮非齊次的亥姆霍茲方程)。若三維函數
形式如下
![{\displaystyle V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc78c4fca1757bc0c9bc1eb0796306c6cd6b885d)
則此問題可以分解為三個一維的常微分方程,函數分別是
、
及
,最後的解可以寫成
。(薛定諤方程中可以分離變數求解的例子已由艾森哈特(Eisenhart)在1948年列舉[1])。
- ^ L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).