希爾伯特零點定理

希爾伯特零點定理（Hilbert's Nullstellensatz）確立了幾何和代數之間的基本關係。數學中一大重要分支——代數幾何——正是建立在這一關聯的基礎之上的。零點定理聯繫了代數集與（代數閉域上的）多項式環中的理想。大衛·希爾伯特最早發現了這一關聯，並證明了零點定理及其它相關的重要定理（如希爾伯特基定理）。

定理陳述

設k 為域（如有理數域），K 為k 的代數封閉擴張（如複數域）。考慮多項式環k[X₁,X₂,..., X_n]，設I 為此環的一個理想。該理想定義了代數集V(I )：其元素為Kⁿ 中的n-元組 x = (x₁,...,x_n)，使得對於I 中所有的f 滿足f (x) = 0。希爾伯特零點定理聲明：如果p 為k[X₁,X₂,..., X_n] 中的多項式，並且在V(I )恆為零，即對於所有V(I )中的 x 有p(x) = 0，那麼存在一個自然數r 使得p^r 屬於I。

零點定理的一個直接推論是「弱零點定理」：k[X₁,X₂,..., X_n]的理想I 包含單位元 1 若且唯若I 中的多項式在Kⁿ 中沒有公共零點。弱零點定理也可如下表述：如果I 是 k[X₁,X₂,..., X_n]的真理想，那麼V(I )不是空集，即在k 的任意代數封閉擴張中都存在一個滿足理想中所有多項式的公共零點。這就是零點定理名稱的由來，同時零點定理也可以通過拉比諾維奇技法從「弱」版輕鬆證得。在這裏，考慮公共零點時代數閉域的假設是必要的：例如，R[X ] 中的真理想(X ² + 1) 在 R 中就沒有公共零點。用代數幾何中常用的記法，零點定理可以寫作

${\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}$

對於所有理想J 成立。這裏，${\sqrt {J}}$ 代表J 的根，而I(U ) 代表由在集合U 上恆為零的所有多項式組成的理想。

這樣，我們得到了一個在Kⁿ 中的代數集與K[X₁,X₂,..., X_n]中根理想之間的反序一一映射。實際上，更一般地，我們有在空間的子集的集合與代數的子集的集合之間的伽羅瓦連接，其中「扎里斯基閉包」與「理想的根」充當閉包算子的角色。

作為例子，考慮一點$P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}$。那麼$I(P)=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$。更一般地，

${\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).$

相反地，多項式環$K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ 中每個極大理想（注意$K$是代數封閉的）都具有如下形式：$(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$，對於某些$a_{1},\dots ,a_{n}\in K$。

再如，Kⁿ 中的代數集W 是不可約集（關於扎里斯基拓撲）若且唯若$I(W)$為素理想。

參考

• M. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5
• Shigeru Mukai. An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge studies in advanced mathematics 81. William Oxbury (trans.). 2003: 82. ISBN 0-521-80906-1. 
• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.