在數學物理學中,格拉斯曼數(又稱反交換數)是一種用於狄拉克場路徑積分表示的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼命名的。
各格拉斯曼變數
均與代數的實數元無關,它們之間互成反交換關係,但與一般數
間則為交換關係:
。
需要注意的是,此算符的平方為零:
- 由於
,所以
。
為了能讓費米子也有路徑積分,格拉斯曼數的積分需要有以下特性:
![{\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059ccf02ab354dc01661a0237a698f6efd3df73a)
。
因此格拉斯曼量的積分有以下的規定:
![{\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b050376ea024a15e32b303d5846e52db0b02d5)
。
所以結論為任何格拉斯曼數的微分及積分都是相同的。
在量子場論的路徑積分表述中,在描述費米子反交換場時,需要用到以下含格拉斯曼量的高斯積分:
。
其中
為
矩陣。
由格拉斯曼數集合所生成的代數叫格拉斯曼代數。由
個線性獨立的格拉斯曼數生成的代數,其維度為
。
格拉斯曼代數是超交換代數的原型。超交換代數還可以分成偶變量與奇變量,因此可以滿足分層的交換律(特別是奇變量為反交換)。
格拉斯曼代數是生成元所張成的向量空間的外代數。外代數的定義與基底的選擇無關。
格拉斯曼數都能以矩陣形式表示。例如,已知一格拉斯曼代數,是由兩個格拉斯曼數
及
所生成。這些格拉斯曼數可用4×4矩陣表示:
。
一般來說,由n個生成元生成的格拉斯曼代數,可用
的正方形矩陣表示。在物理上,這些矩陣可被視為升算符,作用對象為佔位數基底中n個費米子的希爾伯特空間。由於每個費米子的佔位數皆為0或1,因此共有
種基底態。在數學上,這些矩陣可被視為線性算符,對應與格拉斯曼代數自身的左外乘法。
在量子場論中,格拉斯曼數為反交換算符的「經典類比」。它們用於定義費米子場的路徑積分,因此需要為格拉斯曼數的積分下定義,這種積分又叫別列津積分。
格拉斯曼數在為超流形(或超空間)下定義時有重要用途,此時它們被用作「反交換座標」。