萊昂哈德·歐拉
歐拉運動定律 (Euler's laws of motion )是牛頓運動定律 的延伸,可以應用於多粒子系統運動或剛體運動 ,描述多粒子系統運動或剛體的平移運動 、旋轉運動 分別與其感受的力 、力矩 之間的關係。在艾薩克·牛頓 發表牛頓運動定律之後超過半個世紀,於1750年,萊昂哈德·歐拉 才成功地表述了這定律。[ 1] [ 2]
剛體也是一種多粒子系統,但理想剛體是一種有限尺寸,可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力,在剛體內部,點與點之間的距離都不會改變。
歐拉運動定律也可以加以延伸,應用於可變形體 內任意部分的平移運動與旋轉運動。
歐拉第一定律表明,從某慣性參考系 觀測,施加於剛體的淨外力,等於剛體質量 與質心 加速度 的乘積。[ 3] 歐拉第一定律以方程式表達為
F
(
e
x
t
)
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}}
;
其中,
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
是剛體感受到的淨外力,
m
{\displaystyle m}
、
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}}
分別是剛體的質量、質心加速度。
剛體的平移運動 等同於位於其質心、具有其質量的粒子,感受到同樣的淨外力,而呈現的運動。
思考由
n
{\displaystyle n}
個粒子組成的多粒子系統,其質心位置
r
c
m
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}}
為
r
c
m
=
d
e
f
∑
i
=
1
n
m
i
r
i
m
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}{\stackrel {def}{=}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{m}}}
;
其中,
m
i
{\displaystyle m_{i}}
、
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
分別為第
i
{\displaystyle i}
個粒子的質量、位置 ,
m
=
∑
i
=
1
n
m
i
{\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}m_{i}}
是系統的質量。
質心速度
v
c
m
{\displaystyle \mathbf {v} _{cm}}
為
v
c
m
=
d
r
c
m
d
t
=
∑
i
=
1
n
m
i
v
i
m
{\displaystyle \mathbf {v} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{m}}}
;
其中,
v
i
=
d
r
i
d
t
{\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}}
是第
i
{\displaystyle i}
個粒子的速度 。
質心加速度
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}}
為
a
c
m
=
d
v
c
m
d
t
=
∑
i
=
1
n
m
i
a
i
m
{\displaystyle \mathbf {a} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {a} _{i}}{m}}}
;
其中,
a
i
=
d
2
r
i
d
t
2
{\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}
是第
i
{\displaystyle i}
個粒子的加速度 。
第
i
{\displaystyle i}
個粒子感受到的力
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
為
F
i
=
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
;
其中,
F
i
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(ext)}}
是這粒子感受到的外力,
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}}
是第
j
{\displaystyle j}
個粒子施加於第
i
{\displaystyle i}
個粒子的內力。
系統感受到的淨力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
是所有粒子感受到的力的向量和:
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
=
∑
i
=
1
n
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
。
根據牛頓第三定律 ,內力與其反作用力的關係為
F
j
i
=
−
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}=-\mathbf {F} _{ji}}
。
所以,所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零,淨力等於所有外力的向量和 (淨外力
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
):
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
(
e
x
t
)
=
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}=\mathbf {F} ^{(ext)}}
。
根據牛頓第二定律 ,第
i
{\displaystyle i}
個粒子感受到的力
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
與這粒子的加速度之間的關係為
F
i
=
m
i
a
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}}
。
總和所有粒子所感受到的力,
F
=
∑
i
=
1
n
F
i
=
∑
i
=
1
m
i
a
i
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}m_{i}\mathbf {a} _{i}=m\mathbf {a} _{cm}}
。
所以,淨外力
F
(
e
x
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}}
與質心加速度的關係為
F
(
e
x
t
)
=
m
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}}
。
多粒子系統的動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
是組成這系統的所有粒子的動量的向量和:
p
=
∑
i
=
1
n
p
i
=
∑
i
=
1
n
m
i
v
i
=
m
v
c
m
{\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}=m\mathbf {v} _{cm}}
;
其中,
p
i
{\displaystyle \mathbf {p} _{i}}
是第
i
{\displaystyle i}
個粒子的動量。
歐拉第一定律又可以表達為
F
(
e
x
t
)
=
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}
。
假設淨外力為零,則系統的動量守恆。
歐拉第二定律表明,設定某慣性參考系 的固定點O(例如,原點 )為參考點,施加於剛體的淨外力矩 ,等於角動量 的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為
τ
O
(
e
x
t
)
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
;
其中,
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
是對於點O淨外力矩,
L
O
{\displaystyle \mathbf {L} _{O}}
是對於點O的角動量。
思考由
n
{\displaystyle n}
個粒子組成的多粒子系統。對於點O,第
i
{\displaystyle i}
個粒子的角動量
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
為
L
i
=
r
i
×
p
i
=
r
i
×
m
i
v
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}}
。
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
對於時間的導數為
d
L
i
d
t
=
d
(
r
i
×
m
i
v
i
)
d
t
=
v
i
×
m
i
v
i
+
r
i
×
m
i
a
i
=
r
i
×
m
i
a
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i})}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}}
。
根據牛頓第二定律 ,施加於第
i
{\displaystyle i}
個粒子的力
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
是這粒子的質量與加速度的乘積。所以,
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
對於時間的導數為
d
L
i
d
t
=
r
i
×
F
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}}
。
第
i
{\displaystyle i}
個粒子所感受到的淨力矩
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
為
τ
i
=
r
i
×
F
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}}
。所以,
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
與
L
i
{\displaystyle \mathbf {L} _{i}}
的關係為
τ
i
=
d
L
i
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}}
。
總和所有粒子所感受到的淨力矩,系統所感受到的淨力矩
τ
O
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}}
與其角動量
L
O
{\displaystyle \mathbf {L} _{O}}
的關係為
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
d
d
t
∑
i
=
1
n
L
i
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
。
第
i
{\displaystyle i}
個粒子所感受到的淨力
F
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}}
為
F
i
=
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}}
。
第
i
{\displaystyle i}
個粒子所感受到的淨力矩
τ
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}}
為
τ
i
=
r
i
×
F
i
=
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
r
i
×
F
j
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}}
。
物體感受到的淨力矩
τ
O
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}}
為:
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
,
j
≠
i
n
r
i
×
F
j
i
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}}
。
應用牛頓第三定律 ,
r
i
×
F
j
i
+
r
j
×
F
j
i
=
r
i
×
F
j
i
−
r
j
×
F
j
i
=
(
r
i
−
r
j
)
×
F
j
i
=
r
i
j
×
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}-\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {F} _{ji}}
;
其中,
r
i
j
=
r
i
−
r
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}}
是從粒子
r
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{j}}
到粒子
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
的位移向量。
假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律 ,即粒子運動為經典運動,速度超小於光速 ,則
r
i
j
{\displaystyle \mathbf {r} _{ij}}
與
F
j
i
{\displaystyle \mathbf {F} _{ji}}
同向,叉積 為零。那麼,物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
:
τ
O
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
F
i
(
e
x
t
)
=
τ
O
(
e
x
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}={\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}}
。
這樣,可以得到歐拉第二定律方程式
τ
O
(
e
x
t
)
=
d
L
O
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}}
。
假設施加於系統的淨外力矩為零,則系統的角動量的時間變化率為零,系統的角動量守恆。
所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為
τ
O
=
∑
i
=
1
n
τ
i
=
∑
i
=
1
n
r
i
×
(
m
i
a
i
)
=
∑
i
=
1
n
(
r
c
m
+
r
i
′
)
×
(
m
i
(
a
c
m
+
a
i
′
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} _{cm}+\mathbf {r} '_{i})\times (m_{i}(\mathbf {a} _{cm}+\mathbf {a} '_{i}))}
;
其中,
r
i
′
=
r
i
−
r
c
m
{\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{cm}}
、
a
i
′
=
a
i
−
a
c
m
{\displaystyle \mathbf {a} '_{i}=\mathbf {a} _{i}-\mathbf {a} _{cm}}
分別是第
i
{\displaystyle i}
個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。
注意到所有粒子的相對位移與相對加速度,其向量和分別為零,所以,
τ
O
=
r
c
m
×
m
a
c
m
+
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
a
i
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\mathbf {r} _{cm}\times m\mathbf {a} _{cm}+\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}}
。
現在,假設將質心設定為參考點,則
r
c
m
=
0
{\displaystyle \mathbf {r} _{cm}=0}
,方程式變為
τ
c
m
=
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
a
i
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}}
。
以質心為參考點,角動量
L
c
m
{\displaystyle \mathbf {L} _{cm}}
為
L
c
m
=
∑
i
=
1
n
r
i
′
×
m
i
v
i
′
{\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i}}
。
所以,不論質心參考系是否為慣性參考系(即不論質心是否呈加速度運動),以質心為參考點,淨外力矩等於角動量的時間變化率:
τ
c
m
=
d
L
c
m
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{cm}}{\mathrm {d} t}}}
。
在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣,也就是說,其內部存在有應力 分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常,牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動,但在連續介質力學 裏,被加以延伸後,可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成,每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律,則可以推導出歐拉運動定律。不論如何,歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理,與物體結構無關。[ 4]
在塑性力學 (plasticity theory)裏,施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種:「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分,稱為徹體力 (body force ),而短程力只能作用於物體表面,稱為接觸力 (contact force )。這樣,施加於連續物體的淨力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
分為淨徹體力
F
b
{\displaystyle \mathbf {F} _{b}}
、淨接觸力
F
t
{\displaystyle \mathbf {F} _{t}}
:
F
b
=
∫
V
b
d
m
=
∫
V
ρ
b
d
V
{\displaystyle \mathbf {F} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {b} \,\mathrm {d} m=\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V}
、
F
t
=
∫
S
t
d
S
{\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S}
;
其中,
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
是徹體力場(量綱 為力每單位質量),
d
m
{\displaystyle \mathrm {d} m}
是微小質量元素,
ρ
{\displaystyle \rho }
是質量密度,
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V}
是微小體元素,
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
是積分體區域,
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
是表面曳力 (surface traction )密度,
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} S}
是微小面元素,
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是積分曲面。
由於徹體力與接觸力施加於物體,造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣,對於原點的淨力矩
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
分為淨徹體力矩
L
b
{\displaystyle \mathbf {L} _{b}}
、淨接觸力矩
L
t
{\displaystyle \mathbf {L} _{t}}
:
L
b
=
∫
V
r
×
ρ
b
d
V
{\displaystyle \mathbf {L} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V}
、
L
t
=
∫
S
r
×
t
d
S
{\displaystyle \mathbf {L} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S}
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是微小體元素或微小面元素的位置。
歐拉第一定律(「力平衡定律」)表明,從某慣性參考系觀測,施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率:
F
=
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}
。
也就是說,
∫
V
ρ
b
d
V
+
∫
S
t
d
S
=
d
d
t
∫
V
ρ
v
d
V
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V}
;
其中,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
是微小體元素的速度。
歐拉第二定律(「角動量平衡定律」)表明,從某慣性參考系觀測,施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率:
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}
。
也就是說,
∫
V
r
×
ρ
b
d
V
+
∫
S
r
×
t
d
S
=
d
d
t
∫
V
r
×
ρ
v
d
V
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V}
。