留數

  提示：此條目頁的主題不是流數。

在複分析中，留數是一個正比於一個亞純函數某一奇點周圍的路徑積分的複數。（更一般地，對於任何除去離散點集{a_k}之外全純的函數$f:\mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}\rightarrow \mathbb {C}$都可以計算其留數，即便是離散點集中含有本質奇點）留數可以是很容易計算的，一旦知道了留數，就可以通過留數定理來計算更複雜的路徑積分。

定義

亞純函數$f$在孤立奇點$a$的留數，通常記為$\operatorname {Res} (f,a)$或$\operatorname {Res} _{a}(f)$，是使$f(z)-R/(z-a)$在穿孔圓盤$0<|z-a|<\delta$內具有解析原函數的唯一值$R$。

另外，留數也可以通過求出洛朗級數展開式來計算，並且可以將留數定義為洛朗級數的係數a_-1。

留數的定義可以拓展到任意黎曼曲面上。

例子

作為例子，考慮以下的路徑積分：

$\oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz$

其中C是圍繞原點的任意(正向)簡單閉曲線。

我們來計算這個積分，不用任何標準的積分定理。現在，e^z的泰勒級數是眾所周知的，我們可以把這個級數代入被積表達式中。則積分變為：

$\oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

我們把1/z⁵的項代進級數中，便得到：

$\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz$

$=\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.$

現在，積分便化為更簡單的形式。由於：

$\oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,\quad a\neq 1.$

因此任何不是cz⁻¹形式的項都變成了零，那麼積分變為：

$\oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.$

1/4!就是e^z/z⁵在z = 0的留數，記為：

$\mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},$或$\mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},$或$\mathrm {Res} (f,0).$

留數的計算

設複平面內有一穿孔圓盤D = {z : 0 < |z − c| < R}，f是定義在D內的一個全純函數。f在c的留數Res(f, c)是羅朗級數展開式的(z − c)⁻¹項的係數a₋₁。計算留數的值的方法有很多，具體採用那種方法取決於題目中的函數，以及奇點的性質。

根據柯西積分公式，我們有：

$\operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

其中γ是逆時針繞着c的一條閉曲線。我們可以選擇γ為繞着c的一個圓，它的半徑可以任意地小。

可去奇點

如果函數f在整個圓盤{ |z − c| < R }內可以延拓為全純函數，則Res(f, c) = 0。反過來不總成立。

一階極點

在一階極點，留數由以下公式給出：

$\operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).$

設g和h在c的一個鄰域內是全純函數，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那麼函數f(z)=g(z)/h(z)在極點c的留數為：

$\operatorname {Res} (f,c)={\frac {g(c)}{h'(c)}}.$

較高階極點的極限公式

更一般地，f在z = c的留數，其中c是n階極點，由以下公式給出：

$\mathrm {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).$

以上的公式對於計算低階極點的留數是十分有用的。對於較高階的極點，則級數展開式更加容易一些。

無窮遠點的留數

一般地，無窮遠點的留數是指：

$\mathrm {Res} (f(z),\infty )=-\mathrm {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right)$.

如果滿足下面的條件：

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=0$,

則可以用下面的公式計算無窮遠點的留數：

$\mathrm {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z)$.

如果不滿足，即

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0$,

則無窮遠點的留數為：

$\mathrm {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z)$.

級數方法

如果函數的一部分或全部可以展開為泰勒級數或洛朗級數，則留數的計算比用其它的方法要容易得多。

1. 第一個例子，計算以下函數在奇點的留數：

$f(z)={\sin {z} \over z^{2}-z}$

它可以用來計算一定的路徑積分。這個函數表面上在z = 0處具有奇點，但如果把分母因式分解，而把函數寫成：

$f(z)={\sin {z} \over z(z-1)}$

則顯然z = 0是可去奇點，因此z = 0處的留數為零。

唯一一個另外的奇點是z = 1。函數g(z)在z = a的泰勒級數為：

$g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots$

因此，對於g(z) = sin z和a = 1，我們有：

$\sin {z}=\sin {1}+\cos {1}(z-1)+{-\sin {1}(z-1)^{2} \over 2!}+{-\cos {1}(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .$

對於g(z) = 1/z和a = 1，我們有：

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .$

把兩個級數相乘，並除以(z − 1)，便得：

${\frac {\sin {z}}{z(z-1)}}={\sin {1} \over z-1}+(\cos {1}-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin {1}}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .$

因此f(z)在z = 1的留數為sin 1。

2. 接下來的例子展示了運用級數展開來求留數，拉格朗日反演定理在這裏發揮了重要作用。令

$u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}$

為一個整函數，並令

$v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}$

參見

• 柯西積分公式
• 柯西積分定理
• 莫雷拉定理

參考文獻

• Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979. 
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Complex Residue. MathWorld. 
• 留數的教程