羅德里格公式
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羅德里格公式(英語:Rodrigues' formula),舊稱為艾沃里–雅可比公式,是一個關於勒壤得多項式的公式,分別被 歐林 羅德里格 (1816),詹姆斯 艾沃里 (1824)及卡爾 雅可比 (1827)所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出羅德里格是第一個發現的人後,Heine在1878年建議使用「羅德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它正交多項式的相似公式中。Askey (2005)詳述了羅德里格公式的歷史。
敍述
[編輯]令為一正交多項式序列,並滿足以下條件: 其中 為權函數,為與有關之常數,則是克羅內克δ函數。如果權函數滿足以下微分方程式(又稱Pearson微分方程式): 其中 為次數最高為一的多項式,為次數最高為二的多項式;且以下極限成立: 那麼我們可以證明滿足以下遞迴關係式 其中為常數。此關係式稱為「羅形公式」或是簡稱為「羅德里格公式」[1]
羅形公式最常見的應用為勒壤得多項式、拉蓋爾多項式和埃爾米特多項式。
對勒壤得多項式,羅德里格描述他的公式如下:
拉蓋爾多項式通常被記為L0, L1, ⋯⋯,其羅形公式可被寫為:
埃爾米特多項式的羅德里格公式則為:
其他從史特姆-萊歐維爾方程式所得之正交函數序列也有類似的公式,這些公式也被稱為羅德里格公式(或是羅形公式),特別是所得函數為多項式時。
參考資料
[編輯]- ^ Rodrigues formula – Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2018-04-18]. (原始內容存檔於2018-04-18) (英語).
- Askey, Richard, The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments, Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (編), Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times, History of mathematics 28, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 105–118, 2005, ISBN 978-0-8218-3860-0
- 艾沃里, 詹姆斯, On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society), 1824, 114: 85–150, JSTOR 107707, doi:10.1098/rstl.1824.0008
- 雅可比, C. G. J., Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z2)1/2 entstehen., Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1827, 2: 223–226 [2022-12-29], ISSN 0075-4102, S2CID 120291793, doi:10.1515/crll.1827.2.223, (原始內容存檔於2022-12-29) (German)
- 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Olinde Rodrigues, MacTutor數學史檔案 (英語)
- 羅德里格, 歐林, De l'attraction des sphéroïdes, Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris), 1816, 3 (3): 361–385