邦佛洛尼校正

邦佛洛尼校正（英語：Bonferroni correction）是統計學中在多重比較時使用的一種校正方法，以意大利數學家卡羅·埃米利奧·邦佛洛尼的名字命名。

令$H_{1},\ldots ,H_{m}$為一組假設，$p_{1},\ldots ,p_{m}$為每一假設相對應的p值。同時，$m$為虛無假設總數，$m_{0}$則為實際為真的虛無假設總數。族錯誤率（familywise error rate，簡稱FWER）指拒絕至少一個實際為真的虛無假設（即出現至少一次第一型錯誤）的概率。此時，邦佛洛尼校正是指拒絕所有$p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}$的虛無假設。在應用邦佛洛尼校正後，FWER滿足${\text{FWER}}\leq \alpha$。這一結論可以由布林不等式證明：

${\text{FWER}}=P\left\{\bigcup _{i=1}^{m_{0}}\left(p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}\right)\right\}\leq \sum _{i=1}^{m_{0}}\left\{P\left(p_{i}\leq {\frac {\alpha }{m}}\right)\right\}\leq m_{0}{\frac {\alpha }{m}}\leq m{\frac {\alpha }{m}}=\alpha .$

邦佛洛尼校正是一種相對保守的FWER控制方法，會增加出現第二型錯誤的概率。

參考文獻

• Dunnett, C. W. A multiple comparisons procedure for comparing several treatments with a control. Journal of the American Statistical Association. 1955, 50 (272): 1096–1121. doi:10.1080/01621459.1955.10501294. 
• Dunnett, C. W. New tables for multiple comparisons with a control. Biometrics. 1964, 20 (3): 482–491. JSTOR 2528490. doi:10.2307/2528490. 
• Shaffer, J. P. Multiple Hypothesis Testing. Annual Review of Psychology. 1995, 46: 561–584. doi:10.1146/annurev.ps.46.020195.003021. 
• Strassburger, K.; Bretz, Frank. Compatible simultaneous lower confidence bounds for the Holm procedure and other Bonferroni-based closed tests. Statistics in Medicine. 2008, 27 (24): 4914–4927. doi:10.1002/sim.3338. 
• Šidák, Z. Rectangular confidence regions for the means of multivariate normal distributions. Journal of the American Statistical Association. 1967, 62 (318): 626–633. doi:10.1080/01621459.1967.10482935. 
• Hochberg, Yosef. A Sharper Bonferroni Procedure for Multiple Tests of Significance (PDF). Biometrika. 1988, 75 (4): 800–802 [2017-02-01]. doi:10.1093/biomet/75.4.800. （原始內容存檔 (PDF)於2016-10-12）. 

外部連結

• Bonferroni, Sidak online calculator （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Multiple Testing Corrections in GeneSpring and Gene Expression data （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）