ElGamal加密算法

在密碼學中，ElGamal加密算法是一個基於迪菲-赫爾曼密鑰交換的非對稱加密算法。它在1985年由塔希爾·蓋莫爾提出。GnuPG和PGP等很多密碼學系統中都應用到了ElGamal算法。

ElGamal加密算法可以定義在任何循環群$G$上。它的安全性取決於$G$上的離散對數難題。

算法

ElGamal加密算法由三部分組成：密鑰生成、加密和解密。

密鑰生成

密鑰生成的步驟如下：

• Alice利用生成元$g$產生一個$q\,$階循環群$G\,$的有效描述。該循環群需要滿足一定的安全性質。
• Alice從$\{1,\ldots ,q-1\}$中隨機選擇一個$x$。
• Alice計算$h:=g^{x}$。
• Alice公開$h\,$以及$G,q,g\,$的描述作為其公鑰，並保留$x$作為其私鑰。私鑰必須保密。

加密

使用Alice的公鑰$(G,q,g,h)$向她加密一條消息$m$的加密算法工作方式如下：

• Bob從$\{1,\ldots ,q-1\}$隨機選擇一個$y$，然後計算$c_{1}:=g^{y}$。
• Bob計算共享秘密$s:=h^{y}$。
• Bob把他要發送的秘密消息$m$映射為$G$上的一個元素$m'$。
• Bob計算$c_{2}:=m'\cdot s$。
• Bob將密文$(c_{1},c_{2})=(g^{y},m'\cdot h^{y})=(g^{y},m'\cdot (g^{x})^{y})$發送給Alice。

值得注意的是，如果一個人知道了$m'$，那麼它很容易就能知道$h^{y}$的值。因此對每一條信息都產生一個新的$y$可以提高安全性。所以$y$也被稱作臨時密鑰。

解密

利用私鑰$x$對密文$(c_{1},c_{2})$進行解密的算法工作方式如下：

• Alice計算共享秘密$s:=c_{1}{}^{x}$
• 然後計算$m':=c_{2}\cdot s^{-1}$，並將其映射回明文$m$，其中$s^{-1}$是$s$在群$G$上的逆元。（例如：如果$G$是整數模n乘法群的一個子群，那麼逆元就是模逆元）。

解密算法是能夠正確解密出明文的，因為

$c_{2}\cdot s^{-1}=m'\cdot h^{y}\cdot (g^{xy})^{-1}=m'\cdot g^{xy}\cdot g^{-xy}=m'.$

實際使用

ElGamal加密系統通常應用在混合加密系統中。例如：用對稱加密體制來加密消息，然後利用ElGamal加密算法傳遞密鑰。這是因為在同等安全等級下，ElGamal加密算法作為一種非對稱密碼學系統，通常比對稱加密體制要慢。對稱加密算法的密鑰和要傳遞的消息相比通常要短得多，所以相比之下使用ElGamal加密密鑰然後用對稱加密來加密任意長度的消息，這樣要更快一些。