科林·麥克勞林是歐拉-麥克勞林求和公式的提出者之一
萊昂哈德·歐拉是歐拉-麥克勞林求和公式的提出者之一
歐拉-麥克勞林求和公式在1735年由萊昂哈德·歐拉與科林·麥克勞林分別獨立發現,該公式提供了一個聯繫積分與求和的方法,由此可以導出一些漸進展開式。
[1]
設
為一至少
階可微的函數,
,則
其中
表示
的階乘
表示
的
階導函數
,其中
表示第
個伯努利多項式
- 伯努利多項式是滿足以下條件的多項式序列:
![{\displaystyle {\begin{cases}B_{0}(x)\equiv 1\\B'_{r}(x)\equiv rB_{r-1}(x)\quad (r\geq 1)\\\int _{0}^{1}B_{r}(x)\,\mathrm {d} x=0\quad (r\geq 1)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d89dda36dbd9c24e64cbdec639a8ccfb0bf542)
表示
的小數部分
為第
個伯努利數
證明使用數學歸納法以及黎曼-斯蒂爾傑斯積分,下文中假設
的可微次數足夠大,
。
為了方便,將原式的各項用不同顏色表示:
容易算出
![{\displaystyle {\bar {B}}_{1}(t)={\color {Purple}\left\langle t\right\rangle -{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4dce1a241408c8939c5e016e15fd5ce2bb27f4)
其中橙色的項通過分部積分可化為
得到想要的結果。
歐拉-麥克勞林求和公式的精確度通常不一定隨着
的增加而增加,相反地,如果
相當大,則積分項也會很大。右圖是在計算調和級數的前100項時用Mathematica算出不同的
對應的積分項的絕對值:
計算調和級數時的誤差項
通過歐拉-麥克勞林求和公式可以給出黎曼ζ函數的漸進式:[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2}}N^{-s}\\&\quad +{\frac {B_{2}}{2}}sN^{-s-1}+...+{\frac {B_{2\nu }}{(2\nu )!}}s(s+1)...(s+2\nu -2)N^{(-s-2\nu +1)}+R_{2\nu }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98a7a95e97fb9d4ac4fdc0fd1e40a569a570e21)
其中
歐拉-麥克勞林求和公式有時也被寫成如下形式:[3]
![{\displaystyle \sum _{y<n\leq x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{y}^{x}(t-\left\lfloor t\right\rfloor )f'(t)\,\mathrm {d} t+f(x)(\left\lfloor x\right\rfloor -x)-f(y)(\left\lfloor y\right\rfloor -y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cc2c5a0253cba4ecf21e34836dd24c9b196c05)
這是歐拉給出的原始形式。