函數域

在代數幾何中，一個整概形 $X$ 的函數域 $K_{X}$ 由 $X$ 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 $K_{X}$ 所決定的幾何性質。

整概形的情形

定義

若 $X$ 是仿射整概形， $U\subset X$ 為開集，則定義 $K_{X}(U)$ 為 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 的分式域。此時 $K_{X}$ 是 ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ 的分式域的常數層。

若 $X$ 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 $U\subset X$ ，可以一致地定義 $K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)$ ，其中 $V$ 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 $X$ 的函數域。另一種等價定義是 ${\mathcal {O}}_{X}$ 在一般點的莖。

函數域與維度

設 $k$ 為域， $X$ 為不可約 $k$ -代數簇，則 $K_{X}$ 是 $k$ 的域擴張，有時也寫作 $k(X)$ 。此擴張的超越次數等於 $\dim X$ ，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。

例子

$\mathbb {Z}$ 的函數域是 $\mathbb {Q}$ 。

以下設 $k$ 為域。

單點 $\mathrm {Spec} (k)$ 的函數域是 $k$ 本身。
仿射直線 $\mathbb {A} _{k}^{1}$ 與射影直線 $\mathbb {P} _{k}^{1}$ 的函數域都是 $k(t)$ ，其中 $t$ 是 $k$ 上的超越元。
考慮平面曲線 $y^{2}=x^{5}+1$ ，其函數域是 $k(x,y)$ ，其中 $x,y$ 是 $k$ 上滿足 $y^{2}=x^{5}+1$ 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 $k$ 為有限域時， $k$ -代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。

一般概形的情形

當 $X$ 不是整概形時， ${\mathcal {O}}_{X}$ 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：

對任一開集

U\subset X

，令

S_{U}

為

{\mathcal {O}}_{X}(U)

中的非零因子集，這是一個積性集。命

K_{X}^{p}(U):=S_{U}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}(U)

（即

{\mathcal {O}}_{X}(U)

的全分式環）。

K_{X}^{p}

構成

X

上的預層。令

K_{X}

為其層化，此即

X

的有理函數層，它是

{\mathcal {O}}_{X}

-代數構成的層。

若 $X$ 局部上可以分解成有限個整概形 $X=\bigcup X_{i}$ （這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集 $U$ 有

K_{X}(U)=\bigoplus _{X_{i}\cap U\neq \emptyset }K_{X_{i}}

此時 $K_{X}$ 是 $X$ 上的擬凝聚層。

與亞純函數域的關係

在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 $\mathbb {C}$ -代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ ）；若加上緊緻條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。

文獻

Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法語）.
Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206