區間套

在數學中，一串區間套是實數中的一串區間 $I n$ （n=1, 2, 3, ...），使得對於每個n都有 $I n + 1$ 是 $I n$ 的子集，有時我們要求它是真子集。換而言之，在這串區間中，區間從左邊逐漸往右收縮，而在右邊逐漸往左收縮。

關於區間套的主要問題在於探討所有區間 $I n$ 的交集（記作J）的性狀。

事實上，當 $I n$ 都是開集時，J有可能為空集。例如開區間套 $(0, 2 - n)$ 的交集就是空集：任何一個正數x都在n充分大之後大於2⁻ⁿ，故而x不在J中。

但對於閉集而言，情況有所不同。事實上，我們有閉區間套定理，這一定理刻劃了實數的完備性。定理聲稱對於任一的有界閉區間套 $I n$ （例如 $I n = [a n, b n]$ 並滿足 $a n \leq b n$ ），它們的交集 $I n$ 非空，且為閉區間 $[\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]$ ；特別地，假若 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0$ ，則它們的交集J為一個包含且僅包含 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ 的單點集。

參考文獻

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