在數學分析 中,半連續性 是實值函數 的一種性質,分成上半連續 與下半連續 ,半連續性較連續性 弱。
設
X
{\displaystyle X}
為拓撲空間 ,
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
,而
f
:
X
→
R
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
為實值函數 。若對每個 ε > 0 都存在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
的開鄰域
U
{\displaystyle U}
使得
∀
x
∈
U
,
f
(
x
)
<
f
(
x
0
)
+
ε
{\displaystyle \forall x\in U,\;f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }
,則稱
f
{\displaystyle f}
在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
上半連續 。該條件也可以用上極限 等價地表述:
lim sup
x
→
x
0
f
(
x
)
≤
f
(
x
0
)
{\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}
若
f
{\displaystyle f}
在
X
{\displaystyle X}
上的每一點都是上半連續,則稱之為上半連續函數 。
下半連續性可以準此定義:若對每個 ε > 0 都存在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
的開鄰域
U
{\displaystyle U}
使得
∀
x
∈
U
,
f
(
x
)
>
f
(
x
0
)
−
ε
{\displaystyle \forall x\in U,\;f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }
,則稱
f
{\displaystyle f}
在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
下半連續 。用下極限 等價地表述為:
lim inf
x
→
x
0
f
(
x
)
≥
f
(
x
0
)
{\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}
若
f
{\displaystyle f}
在
X
{\displaystyle X}
上的每一點都是下半連續,則稱之為下半連續函數 。
拓撲基
]
−
∞
,
a
[
(
a
∈
R
)
{\displaystyle ]-\infty ,a[\;\;(a\in \mathbb {R} )}
賦予實數線
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
較粗的拓撲,上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為
]
a
,
+
∞
[
(
a
∈
R
)
{\displaystyle ]a,+\infty [\;\;(a\in \mathbb {R} )}
,則得到下半連續函數。
上半連續但不是下半連續函數的例子(藍點表
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
)
考慮函數
f
(
x
)
=
{
−
1
,
x
<
0
1
,
x
≥
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&,x<0\\1&,x\geq 0\end{cases}}}
此函數在
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
上半連續,而非下半連續。
下半連續但不是上半連續連續的函數的例子(藍點表
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
)
下整數函數
f
(
x
)
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor }
處處皆上半連續。同理,上整數函數
f
(
x
)
=
⌈
x
⌉
{\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }
處處皆下半連續。
一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。
若
f
,
g
{\displaystyle f,g}
在某一
點上半連續,則
f
+
g
{\displaystyle f+g}
亦然;若兩者皆非負,則
f
g
{\displaystyle fg}
在該點也是上半連續。若
f
{\displaystyle f}
在一點上半連續,則
−
f
{\displaystyle -f}
在該點下半連續,反之亦然。
若
X
{\displaystyle X}
為緊集(例如閉區間),則其上的上半連續函數必取到極大值,而下半連續函數必取到極小值。
設
f
n
{\displaystyle f_{n}}
為下半連續函數序列,而且對所有
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
有
f
(
x
)
=
sup
n
f
n
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle f(x)=\sup _{n}f_{n}(x)<+\infty }
則
f
{\displaystyle f}
是下半連續函數。
開集的指示函數 為下半連續函數,閉集的指示函數為上半連續函數。
Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. 1997. ISBN 9810225342 .