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奎倫伴隨

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同倫論中,兩個封閉模型範疇C、D之間的奎倫伴隨指一種特殊的範疇間的伴隨,通過全導函子結構,在同倫範疇Ho(C)與Ho(D)之間建立伴隨關係。奎倫伴隨為紀念數學家丹尼爾·奎倫而名。

正式定義

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給定兩個封閉模型範疇C、D奎倫伴隨是一對

(F, G): C D

伴隨函子F左伴隨G,使得F保留了上纖維化與平凡上纖維化;或根據封閉模型公理,G保留了纖維化與平凡纖維化。在這樣的伴隨關係中,F左奎倫函子G右奎倫函子

性質

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由公理可知,奎倫函子保留了(上)纖維化對象間的弱等價。奎倫的全導函子公理稱,左全導函子

LF:Ho(C) → Ho(D)

是右全導函子

RG: Ho(D) → Ho(C)

的左伴隨。這樣的伴隨(LF, RG)稱為導伴隨

若(F, G)是上述的奎倫伴隨,使

F(c) → d

c上纖維化、與d纖維化在D中是弱等價,若且唯若

cG(d)

C的弱等價,則稱之為封閉模型範疇C、D奎倫等價。這時,導伴隨是範疇的伴隨等價,因此

LF(c) → d

是Ho(D)的同構,若且唯若

cRG(d)

是Ho(C)的同構。

參考文獻

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