年金是指等額、定期的系列收支。[1]即用於描述這類以固定的時間周期以相對固定的方式發生的現金流。例如,分期付款賒購、分期償還貸款、發放養老金、分期支付工程款、每年相同的銷售收入等,都屬於年金收付形式。
按照收付時點和方式的不同可以將年金分為普通年金、預付年金、遞延年金和永續年金等四種。
普通年金的現值可以被表達為一個等比數列的總和。
考慮在時刻分別發生數額為的款項,總共發生次的現金流(顯然,這是年金)。將在未來發生的款項根據換算周期內的利率折現,這個年金的現值據此計算:[2]
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其中稱為「年金因子」。上式同樣也適用於發生時間不同但等時間間隔的年金,比如,從第一年到第十年每年年底付款100元;其中,是換算周期內對應的利率或當期收益率。[3]
若年金的支付永遠進行下去,沒有停止的那一天,這種年金被稱為永久年金。[4]永久年金現值的計算即令上式中,則,
因此,前式可以看作是一個永久年金的現值減去一個推遲了年的永久年金的現值所得。
需要注意的是,這些計算公式只有在滿足下述條件時才能成立:
- 無需考慮通貨膨脹,或者所用利率已將通貨膨脹考慮在內。
- 將來的支付具有相當高的發生可能性,或者利率已將信用風險考慮在內。
要了解更多,請參見金錢的時間價值。
在考慮退休年金計劃或者定期儲蓄計劃時,有時需要計算年金終值。
根據終值計算公式:
其中:
- 為年金終值
- 為年金現值
- 為對應利率
- 為年金期數
按上文,已知普通年金現值計算公式,將其代入終值計算公式:
已知為計算終值時使用的[終值因子] (Future Value Factor),則上述公式可以簡化為:
我們稱為[年金終值因子] (FV annuity factor)
最終簡化版的年金終值公式為
假設A每年年末定期儲蓄10,000元人民幣,年利率5%,那麼到第四年年末,A定期儲蓄的終值是多少?
首先計算終值因子:
接下來計算年金終值因子:
最後計算年金終值:
A所做定期儲蓄在第四年的終值為43101.19元。