開放句子

開放句子是「在用特定的數，替代其中的變量的時候，將使得結果的表達式被求值為真的一個句子」。

數學家沒有接受這種術語，而是稱之為帶有自由變量的方程式或不等式等。

這種替代也叫做對句子的解。恆等式是所有數都是解的開放句子。

開放句子的例子包括：

3x − 9 = 21, x的唯一解是10；
4x + 3 > 9, x的解是所有大於3/2的數；
x + y = 0, x和y的解是所有加法互逆的所有數的有序對；
3x + 9 = 3(x + 3), x的解是所有數。
5x + 8 = 5(x + 5), x無解。
x² + 7 > 0, x的解是所有實數。例子4是恆等式。例子1、3、4和5是方程式，而例子2和6是不等式。

所有開放句子都必須（通常暗含的）有描述那些數可被當作解的論域。例如，你可以考慮所有實數或只是整數。例如，在例子2中，1.6是一個解，如果論域是所有實數，如果論域只是整數則不是。在這種情況下，只有大於3/2的整數是解：2, 3, 4等等。在另一方面，如果論域由所有複數構成，則例子2甚至沒有意義（儘管其他例子有）。恆等式只要求對在它的論域中的數成立。

同樣的論域可以用來描述在符號邏輯中使用全稱量化的開放句子的解。例如，例子2的解可以描述為：

對於所有的x, 4x + 3 > 9 當且僅當x > 3/2。這裏的短語"對於所有"隱含的要求了一個論域來指定哪些數學物件是x的"全部的"可能性。

這個想法甚至可以推廣到變量根本不提及數的變量的解，如在函數方程中。例如

f * f = f,

它聲稱對於x的所有的值有f(x)* f(x) = f(x)。如果論域由從實數軸R到自身的所有函數組成，則f的解是值是1和0的所有函數。但是如果論域由從R到自身的所有連續函數組成，則f的解只是有值1或0的常數函數。

參見