德林費爾德模
在數學領域,德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模,佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說,德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。
俄文單詞 штука(英語拼音:shtuka 或 chtouca,源於德文的 Stück,意指物件或東西),又稱F-層,是德林費爾德模的一種延伸,由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。
弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模,隨後推廣到 штука,以證明函數域上的 郎蘭茲猜想。洛朗·拉福格藉由研究 n秩 штука的模疊與跡公式,在2002年證出 的情形。
德林費爾德模
[編輯]加性多項式環
[編輯]設 為特徵 的域。定義其上的非交換多項式環
- a0 + a1τ + a2τ2 + ...
乘法由下述條件確定
元素 可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上, 是左 -模,其中 以乘法作用而 以 映射。環 也可以看作是如下多項式的集合
這類多項式滿足 ,故稱加性多項式;此環的乘法由多項式的合成給出,而非乘法,故非交換。
形式定義
[編輯]今設 為交換環,L 上的 德林費爾德 A-模定義為環同態 ,使得 不包含於 ;此條件意在排除一些平凡例子。環 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。
可視為加法群 的自同態,而德林費爾德 A-模可視為 在 上的作用。
例子
[編輯]- 置 ,對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 僅依賴於像 。此時德林費爾德模可等同於 。對於虧格更高的曲線,德林費爾德模會更複雜。
- 承上,Carlitz 模是由 , 為含 的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究,詳見Goss 的著作第三章 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) 。
штука
[編輯]設 是有限域 上的代數曲線。對概形或疊 ,其上的秩 r (右)штука 由下列資料定義:
- 上的秩 r 局部自由層 及單射
其餘核的支撐集包括於某態射 的圖(稱為該 штука 的零點與極點,記為 與 ),且在支撐集上是秩 局部自由層。在此 表 上的弗羅貝尼烏斯態射。
左 штука 的定義類似,但態射的方向反轉;若極點與零點集互斥,則實際上無分左右。
粗略而言,考慮不同的 ,可得代數疊 及 上的「萬有 штука」,並有相對維度 $2$ 的平滑態射 。注意到當 時,疊 並非有限型的。
德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука(自定義觀之,這絕非明顯),詳見 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。
應用
[編輯]簡言之,函數域上的郎蘭茲猜想是關於 的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示,德林費爾德的高處在於從某個秩 штука 的模空間的 -進上同調入手,找出相應的伽羅瓦表示。
德林費爾德認為此法可延伸至 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難,完成證明。
文獻
[編輯]德林費爾德模
[編輯]- V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
- D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
- Drinfel'd module (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) in the Springer encyclopaedia of mathematics
- G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996
штука
[編輯]- Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
- Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
- D. Goss, What is a shtuka? (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)
拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作
[編輯]- Lafforgue, L. Chtoucas de Drinfeld et applications. (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) (Drinfeld shtukas and applications) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 563--570
- Lafforgue, Laurent Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondance de Langlands. (Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
- Gérard Laumon, The work of Laurent Lafforgue Archive.is的存檔,存檔日期2012-12-05 Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97
- G. Laumon La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873