梅滕斯定理

在解析數論中，梅滕斯定理指的是三個弗朗茨·梅滕斯在1874年證明的定理，這些定理與質數密度相關。

以下假定$p\leq n$指的是所有不超過$n$的質數。

梅滕斯第一定理

梅滕斯第一定理指的對於任何的$n\geq 2$而言，以下式的絕對值不會超過$2$（A083343）：

$\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}-\log n$

梅滕斯第二定理

梅滕斯第二定理如下：

$\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M\right)=0,$

其中$M$是Meissel–Mertens常數（A077761）；更精確地說，梅滕斯證明了對於任意的$n\geq 2$，以上的公式在極限意義下，其絕對值不會超過下式：

${\frac {4}{\log(n+1)}}+{\frac {2}{n\log n}}$

證明

證明梅滕斯第二定理的主要步驟如下：

$O(n)+n\log n=\log n!=\sum _{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p=\sum _{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)$

其中最後的等式要求$\sum _{p^{k}\leq n}\log p=O(n)$，而這可由$\sum _{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)$得出。

因此我們證明了下式：

$\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}=\log n+O(1)$

由於在$k\geq 2$時，質數的次方的倒數和收斂之故，這表示說

$\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1)$

故由分部求和法可推得下式：

$\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+M+O(1/\log n)$

變號

在一篇於1983年出版的關於除數函數增長率的文章中，Guy Robin證明了以下在梅滕斯第二定理中出現的差會變號無限多次：

$\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M$

此外，以下在梅滕斯第三定理中出現的差也會變號無限多次：

$\log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }$

Robin的結果類似於李特爾伍德證明的「$\pi (x)-{\rm {Li}}(x)$這個差會變號無限多次」的這定理。唯對於梅滕斯第二及第三定理而言，目前尚沒有類似於斯奎斯數這樣，最小的導致變號的自然數的上界。

與質數定理間的關係

梅滕斯在他的《兩個令人好奇的勒讓德公式》（two curious formula of Legendre）這篇論文中論及了這個非病態的公式，在這篇文章中出現的第一個公式是梅滕斯第二定理的原型；而同篇文章中出現的第二個公式是梅滕斯第三定理的原型，詳情可見該篇文的前面數行。他回憶說這公式出現在勒讓德的《數論》（Théorie des nombres）的第三版（出版於1830年，而實際上該公式出現於1808年出版的第二版中），且更加詳細的版本為切比雪夫在1851年所證明。應當注意的是，歐拉在1737年就已知該公式的非病態行為。

梅滕斯禮貌性地描述說他的證明是更加精準且確實的。實際上在他之前的任何證明，在現代標準下都是不可接受的：歐拉的計算牽涉到無限（以及無限的雙曲對數和無限的對數的對數）；勒讓德的論證是啟發性的；而切比雪夫證明，盡管邏輯上完美，但用到了直到1896年之前都尚未得證、並在後來被稱為質數定理的勒讓德─高斯猜想。

梅滕斯的證明並未用到在1874時尚未得證的任何猜想，且只用到基本的實分析，而這證明出現在質數定理得證的22年之前；而與之相對地，質數定理仰賴對做為複數域上的函數的黎曼ζ函數的行為的詳細分析。

由此來看，梅滕斯的證明在這方面是印象深刻的，事實上，以當今慣用的大O符號表記，其論述如下：

$\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)$

而若使用最簡單、不帶誤差項估計的質數定理，可證明下式成立：

$\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).$

在1909年，愛德蒙·蘭道（Edmund Landau）用他當時可得的最好的質數定理的版本，證明了下式成立：

$\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})$

特別地，對任何固定數$k$而言，這誤差項小於$1/(\log x)^{k}$

對已知的最強版本使用簡單的分部求和技巧，可將之改進為：

對於一些$c>0$而言，有$\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})$

類似地，使用分部求和法可證明說質數定理蘊含了$\sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+C+o(1)$。

梅滕斯第三定理

梅滕斯第三定理如下：

$\lim _{n\to \infty }\log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }\approx 0.561459483566885,$

其中$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數。（A001620）

與篩法的關係

對於「$X$（$X\gg n$）沒有小於$n$的因子的概率」的估計，可由下式給出：

$\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$

這與梅滕斯第三定理密切相關，因為梅滕斯第三定理給出了下式的非病態估計：

$P(p\nmid X\ \forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\log n}}$

延伸閱讀

• Akiva Moiseevich Yaglom及Isaak Moiseevich Yaglom所著的《以初等技巧解決挑戰性數學問題》（Challenging mathematical problems with elementary solutions）第二版中的問題第171、173跟174。

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Mertens Constant. MathWorld. 
• Sondow, Jonathan. Mertens Theorem. MathWorld. 
• 埃里克·韋斯坦因. Mertens' Second Theorem. MathWorld. 
• Varun Rajkumar, π(x) and the Sieve of Eratosthenes （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）