歐拉因式分解法

歐拉因式分解法是一種整數分解方法，重點是用兩種方式把要分解的數表示為兩數平方和。比如要分解 $1000009$，這個數既能寫成 $1000^{2}+3^{2}$，又能寫成 $972^{2}+235^{2}$，那麼用歐拉的方法就能分解了：$1000009=293\cdot 3413$。

能用兩種方式把一個整數表示為兩數平方和，或許就能分解這個數，這個想法最早是由梅森提出的。但是直到一百年後，這個想法才得到了廣泛應用。當時歐拉用他的方法分解了 $1000009$，這個方法也由此得名。當時人們還認為 $1000009$ 是質數，但是這個數在主流的素性檢測算法中都不是偽質數。

對於因子相差不是特別小的數，歐拉因式分解法比費馬的方法更高效。如果能比較容易地找出兩種方式把要分解的數表示為兩數平方和，那麼歐拉的方法可能比試除法高效得多。歐拉取得的進展提高了人們分解整數的效率。20 世紀 10 年代，大因數表已經寫到了將近一千萬那麼大了。將數字表示為兩數平方和的方法與在費馬因式分解法中查找平方差的方法基本相同。

缺點和限制

歐拉因式分解法最大的缺點是這樣的：要分解的整數，它的質因數分解中，如果有任何一個 4k+3 型的質數是奇數次冪的，那麼歐拉的方法就不能分解了。原因是，這樣的數字不可能是兩數的平方和。4k+1 型的奇合數也經常是兩個 4k+3 型質數的積（例如 3053 = 43 × 71），由上面的結論可以知道，對於這類數，歐拉的方法是用不了的。

這個限制，就讓歐拉因式分解法不太受計算機因子分解算法的歡迎，畢竟對於一個隨機的大數，連能不能用這個方法分解它都很難知道。不過近來，有人嘗試把歐拉的方法發展成計算機算法，用於已知確實可以應用歐拉方法的特定數字。

理論基礎

婆羅摩笈多-斐波那契恆等式指出，一個兩數平方和，和另一個兩數平方和，它們的乘積，是又一個兩數平方和。歐拉的方法就依賴於這個定理，把它反了過來：給定$n=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$，那麼$n$是兩個（可能不一樣的）兩數平方和的積。

首先移項得到

$a^{2}-c^{2}=d^{2}-b^{2}$

用平方差公式，對兩邊分別因式分解，得到

$(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b)$ (1)

現在令 $k=\operatorname {gcd} (a-c,d-b)$，令 $h=\operatorname {gcd} (a+c,d+b)$，這樣就有 $l,m,l',m'$ 滿足

• $(a-c)=kl$,
• $(d-b)=km$,

$\operatorname {gcd} (l,m)=1$

• $(a+c)=hm'$,
• $(d+b)=hl'$,

$\operatorname {gcd} (l',m')=1$

把這些代入式 (1)，得到

$klhm'=kmhl'$

約去 $k$ 和 $h$，得到

$lm'=l'm$

我們知道 $l,m$ 互素，$l',m'$ 互素，因此

• $l=l'$
• $m=m'$

因此

• $(a-c)=kl$
• $(d-b)=km$
• $(a+c)=hm$
• $(d+b)=hl$

可以看到 $m=\operatorname {gcd} (a+c,d-b)$ 還有 $l=\operatorname {gcd} (a-c,d+b)$

現在應用婆羅摩笈多-斐波那契恆等式，我們就得到了

$\left(k^{2}+h^{2}\right)\left(l^{2}+m^{2}\right)=(kl+hm)^{2}+(km-hl)^{2}={\bigl (}(a-c)+(a+c){\bigr )}^{2}+{\bigl (}(d-b)-(d+b){\bigr )}^{2}=(2a)^{2}+(2b)^{2}=4n.$

由於每個因子都是兩數平方和，那麼$(k,h)$ 和 $(l,m)$ 之中必有一個數對中兩個數都是偶數。不失一般性，假設數對$(k,h)$里兩數都是偶數。於是就可以這樣分解了：

$n=\left(\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {h}{2}}\right)^{2}\right)\left(l^{2}+m^{2}\right).\,$

例子

已知 $\ 1000009=1000^{2}+3^{2}=972^{2}+235^{2}$

用上面的方法計算：

a = 1000	(A) a − c = 28	k = gcd[A,C] = 4
b = 3	(B) a + c = 1972	h = gcd[B,D] = 34
c = 972	(C) d − b = 232	l = gcd[A,D] = 14
d = 235	(D) d + b = 238	m = gcd[B,C] = 116

於是

$1000009=\left[\left({\frac {4}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {34}{2}}\right)^{2}\right]\cdot \left[\left({\frac {14}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {116}{2}}\right)^{2}\right]\,$

$=\left(2^{2}+17^{2}\right)\cdot \left(7^{2}+58^{2}\right)\,$

$=(4+289)\cdot (49+3364)\,$

$=293\cdot 3413\,$

偽代碼

function Euler_factorize(int n) -> list[int]
   if is_prime(n) then
       print("数字是質數，不能分解")
       exit function
   for-loop from a=1 to a=ceiling(sqrt(n))
       b2 = n - a*a
       b = floor(sqrt(b2))
       if b*b==b2
           break loop preserving a,b
   if a*a+b*b!=n then
       print("数字无法表示成平方和")
       exit function
   for-loop from c=a+1 to c=ceiling(sqrt(n))
       d2 = n - c*c
       d = floor(sqrt(d2))
       if d*d==d2 then
           break loop preserving c,d
   if c*c+d*d!=n then
       print("没有第二种表示成平方和的方法")
       exit function
   A = c-a, B = c+a
   C = b-d, D = b+d 
   k = GCD(A,C)//2, h = GCD(B,D)//2
   l = GCD(A,D)//2, m = GCD(B,C)//2
   factor1 = k*k + h*h
   factor2 = l*l + m*m
   return list[ factor1, factor2 ]

參考資料

• Ore, Oystein. Euler's Factorization Method. Number Theory and Its History. Courier Corporation. 1988: 59–64. ISBN 978-0-486-65620-5. 
• McKee, James. Turning Euler's Factoring Method into a Factoring Algorithm. Bulletin of the London Mathematical Society. 1996, 4 (28): 351–355. doi:10.1112/blms/28.4.351.