埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法（希腊语：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英语：sieve of Eratosthenes ），簡稱埃氏筛，是一種簡單且年代久遠的演算法，用來找出一定範圍內所有的質數。
所使用的原理是從2開始，將每個質數的各個倍數，標記成合數。一個質數的各個倍數，是一個差為此質數本身的等差數列。此為這個篩法和試除法不同的關鍵之處，後者是以質數來測試每個待測數能否被整除。
埃拉托斯特尼篩法是列出所有小質數最有效的方法之一，其名字來自於古希臘數學家埃拉托斯特尼，並且被描述在尼科馬庫斯所著Introduction to Arithmetic中。

算式

给出要筛数值的范围n，找出${\sqrt {n}}$以内的素数$p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一個質數，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一個質數5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不斷重複下去......。

步驟

详细列出算法如下：

1. 列出2以後的所有序列：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2. 标出序列中的第一个質数，也就是2，序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3. 将剩下序列中，劃摽2的倍数（用红色标出），序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4. 如果现在这个序列中最大数小于最後一個標出的質數的平方，那么剩下的序列中所有的数都是質数，否则回到第二步。

---

1. 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
2. 剩下的序列中第一个質数是3，将主序列中3的倍数划出（红色），主序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1. 我们得到的質数有：2，3
2. 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
3. 现在序列中第一个質数是5，同样将序列中5的倍数划出，主序列成了：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4. 我们得到的質数有：2 3 5 。
5. 因为25等于5的平方，跳出循环.

结论：去掉红色的数字，2到25之间的質数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

演算法

埃拉托斯特尼篩法，可以用以下的伪代码來表示：

Input: an integer n > 1
 
Let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
 
 for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding √n:
  if A[i] is true:
    for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n :
      A[j] := false
 
Output: all i such that A[i] is true.

以上演算法可以得到小於等於n的所有素数，它的複雜度是O(n log log n)。

程式代碼

Python 3.6

def eratosthenes(n):
    P = [i for i in range(2, n+1)]
    p = 0
    while True:
        for i in P[p + 1:]:
            if i % P[p] == 0:
                P.remove(i)
        if P[p]**2 >= P[-1]:
            break
        p += 1
    return P

if __name__ == "__main__":
    print (eratosthenes(120))

C++

#include <vector>
#include <algorithm>//std::remove_if
#include <numeric>//std::iota

std::vector<int> eratosthenes(int max){
  std::vector<int> vi(max+1);//0, 1, 2, ..., max
  std::iota(vi.begin(), vi.end(), 0);
  if(max>=2){
    int prime=2;
    while(prime*prime<=max){//2 to sqrt(max)
      for(size_t index=prime*2; index<vi.size(); index+=prime){
        vi[index]=0;//Rule out this number.
      }
      for(prime++; prime*prime<=max; prime++){
        if(vi[prime]>0){
          break;//Jump to next non-zero.
        }
      }
    }
  }
  vi.erase(std::remove_if(vi.begin(), vi.end(), [](int i)->bool{
    return i<=1;
  }), vi.end());//Remove all zeros and the one.
  return vi;
}

計算分析

<待翻譯...>

演算法複雜度

<待翻譯....>

参见

• 卢卡斯-莱默检验法
• 米勒-拉宾检验
• 试除法
• 费马素性检验
• 孪生素数
• 三胞胎素数
• 四胞胎素数
• 素数判定法则
• 表兄弟素数
• 六素数
• X²+1素数

参考文献

• Κοσκινον Ερατοσθενους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), pp. 327-347.

外部連結

• Interactive animation (需要JavaScript)