埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法（希臘語：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英語：sieve of Eratosthenes ），簡稱埃氏筛，也称素数筛。这是一種簡單且历史悠久的筛法，用來找出一定範圍內所有的質數。

所使用的原理是從2開始，將每個質數的各個倍數，標記成合數。一個質數的各個倍數，是一個差為此質數本身的等差數列。此為這個篩法和試除法不同的關鍵之處，後者是以質數來測試每個待測數能否被整除。

埃拉托斯特尼篩法是列出所有小質數最有效的方法之一，其名字來自於古希臘數學家埃拉托斯特尼，並且被描述在另一位古希臘數學家尼科馬庫斯所著的《算術入門》中。^[1]

算式[编辑]

给出要筛数值的范围n，找出 ${\sqrt {n}}$ 以内的素数 $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ 。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一個質數，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一個質數5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不斷重複下去......。

步驟[编辑]

详细列出算法如下：

列出2以後的所有序列：
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
标出序列中的第一个質数，也就是2，序列变成：
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
将剩下序列中，劃摽2的倍数（用红色标出），序列变成：
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
如果现在这个序列中最大数小于等于最後一個標出的質數的平方，那么剩下的序列中所有的数都是質数，否则回到第二步。

本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
剩下的序列中第一个質数是3，将主序列中3的倍数划出（藍色），主序列变成：
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

我们得到的質数有：2，3
25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
现在序列中第一个質数是5，同样将序列中5的倍数划出（綠色），主序列成了：
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
我们得到的質数有：2, 3, 5 。
因为25等于5的平方，結束循环

结论：去掉红色的数字，2到25之间的質数是：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。

演算法[编辑]

埃拉托斯特尼篩法，可以用以下的伪代码來表示：

Input: an integer n > 1
 
Let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
 
 for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding  ${\sqrt {n}}$ :
  if A[i] is true:
    for j = i², i²+i, i²+2i, i²+3i, ..., not exceeding n :
      A[j] := false
 
Output: all i such that A[i] is true.

以上演算法可以得到小於等於 $n$ 的所有素数，它的複雜度是 $O(n log log n)$ 。

程式代码[编辑]

Python 3.6[编辑]

 1 def eratosthenes(n):
 2     IsPrime = [True] * (n + 1)
 3     for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
 4         if IsPrime[i]:
 5             for j in range(i * i, n + 1, i):
 6                 IsPrime[j] = False
 7     return [x for x in range(2, n + 1) if IsPrime[x]]
 8 
 9 if __name__ == "__main__":
10     print(eratosthenes(120))

C++[编辑]

 1 #include <vector>
 2 #include <cmath>
 3 
 4 auto eratosthenes(int upperbound) {
 5   std::vector<bool> flag(upperbound + 1, true);
 6   flag[0] = flag[1] = false; //exclude 0 and 1
 7   for (int i = 2; i <= sqrt(upperbound); ++i) {
 8     if (flag[i]) {
 9       for (int j = i * i; j <= upperbound; j += i)
10         flag[j] = false;
11     }
12   }	
13   return flag;
14 }

R[编辑]

 1 eratosthenes <- function(n) {
 2   if (n == 1) return(NULL)
 3   if (n == 2 | n == 3) return(2:n)
 4   numbers <- 2:n
 5   primes <- rep(TRUE, n-1)
 6   for (i in 2:floor(sqrt(n))) {
 7     if (primes[i-1]) {
 8       for (j in seq(i * 2, n, i))
 9         primes[j-1] <- FALSE
10     }
11   }
12   return(numbers[primes])
13 }

JavaScript[编辑]

 1 var countPrimes = function(n) {
 2     let count = 0;
 3     let signs = new Uint8Array(n);
 4 
 5     for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
 6         if (!signs[i - 1]) {
 7             count++;
 8 
 9             for (let j = i * i; j <= n; j += i) {
10                 signs[j - 1] = true;
11             }
12         }
13     }
14     return count;
15 };

参见[编辑]

参考文献[编辑]

^ Nicomachus, Introduction to Arithmetic, I, 13. [1]

Κοσκινον Ερατοσθενους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), pp. 327-347.

拓展阅读[编辑]

[1] Nicomachus, Introduction to Arithmetic, I, 13. [1]

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