埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法（希臘語：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英語：sieve of Eratosthenes ），簡稱埃氏筛，也称素数筛。这是一種簡單且历史悠久的筛法，用來找出一定範圍內所有的質數。

所使用的原理是從2開始，將每個質數的各個倍數，標記成合數。一個質數的各個倍數，是一個差為此質數本身的等差數列。此為這個篩法和試除法不同的關鍵之處，後者是以質數來測試每個待測數能否被整除。

埃拉托斯特尼篩法是列出所有小質數最有效的方法之一，其名字來自於古希臘數學家埃拉托斯特尼，並且被描述在另一位古希臘數學家尼科馬庫斯所著的《算術入門》中。

算式

给出要筛数值的范围n，找出${\sqrt {n}}$以内的素数$p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一個質數，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一個質數5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不斷重複下去......。

步驟

详细列出算法如下：

1. 列出2以後的所有序列：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2. 标出序列中的第一个質数，也就是2，序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3. 将剩下序列中，劃摽2的倍数（用红色标出），序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4. 如果现在这个序列中最大数小于等于最後一個標出的質數的平方，那么剩下的序列中所有的数都是質数，否则回到第二步。

---

1. 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
2. 剩下的序列中第一个質数是3，将主序列中3的倍数划出（藍色），主序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1. 我们得到的質数有：2，3
2. 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
3. 现在序列中第一个質数是5，同样将序列中5的倍数划出（綠色），主序列成了：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4. 我们得到的質数有：2, 3, 5 。
5. 因为25等于5的平方，結束循环

结论：去掉红色的数字，2到25之间的質数是：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。

演算法

埃拉托斯特尼篩法，可以用以下的伪代码來表示：

Input: an integer n > 1
 
Let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
 
 for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding ${\sqrt {n}}$:
  if A[i] is true:
    for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n :
      A[j] := false
 
Output: all i such that A[i] is true.

以上演算法可以得到小於等於n的所有素数，它的複雜度是O(n log log n)。

程式代码

Python 3.6

 1 def eratosthenes(n):
 2     IsPrime = [True] * (n + 1)
 3     for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
 4         if IsPrime[i]:
 5             for j in range(i * i, n + 1, i):
 6                 IsPrime[j] = False
 7     return [x for x in range(2, n + 1) if IsPrime[x]]
 8 
 9 if __name__ == "__main__":
10     print(eratosthenes(120))

C++

 1 #include <vector>
 2 auto eratosthenes(int upperbound){
 3     std::vector<bool> flag(upperbound+1, true);
 4 	flag[0]=flag[1]=false; //exclude 0 and 1
 5 	
 6 	for(int i=2; i<=upperbound; ++i)
 7 	    if(flag[i]) // if i is prime number
 8 		    for(int j=i*i; j<=upperbound; j+=i)
 9 			    flag[j] = false;
10 	return flag
11 }

R

 1 eratosthenes <- function(n) {
 2   if (n == 1) return(NULL)
 3   if (n == 2 | n == 3) return(2:n)
 4   numbers <- 2:n
 5   primes <- rep(TRUE, n-1)
 6   for (i in 2:floor(sqrt(n))) {
 7     if (primes[i-1]) {
 8       for (j in seq(i * 2, n, i))
 9         primes[j-1] <- FALSE
10     }
11   }
12   return(numbers[primes])
13 }

参见

• 卢卡斯-莱默检验法
• 米勒-拉宾检验
• 试除法
• 费马素性检验
• 孪生素数
• 三胞胎素数
• 四胞胎素数
• 素数判定法则
• 表兄弟素数
• 六素数
• X²+1素数

参考文献

• Κοσκινον Ερατοσθενους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), pp. 327-347.

拓展阅读

• Interactive animation (需要JavaScript)
• 打印质数的各种算法
• 筛法小结 (Eratosthenes/Euler)
• 欧拉函数线性筛法详解（欧拉函数线性筛）
• 一般筛法求素数+快速线性筛法求素数(较好理解)