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埃拉托斯特尼筛法

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埃拉托斯特尼筛法(希腊语:κόσκινον Ἐρατοσθένους英语:sieve of Eratosthenes ),簡稱埃氏筛,也有人称素数筛。这是一種簡單且历史悠久的筛法,用來找出一定範圍內所有的質數
所使用的原理是從2開始,將每個質數的各個倍數,標記成合數。一個質數的各個倍數,是一個差為此質數本身的等差數列。此為這個篩法和試除法不同的關鍵之處,後者是以質數來測試每個待測數能否被整除。
埃拉托斯特尼篩法是列出所有小質數最有效的方法之一,其名字來自於古希臘數學家埃拉托斯特尼,並且被描述在尼科馬庫斯所著Introduction to Arithmetic中。[1]

算式[编辑]

给出要筛数值的范围n,找出以内的素数。先用2去筛,即把2留下,把2的倍数剔除掉;再用下一個質數,也就是3筛,把3留下,把3的倍数剔除掉;接下去用下一個質數5筛,把5留下,把5的倍数剔除掉;不斷重複下去......。

步驟[编辑]

埃拉托斯特尼筛法

详细列出算法如下:

  1. 列出2以後的所有序列:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  2. 标出序列中的第一个質数,也就是2,序列变成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  3. 将剩下序列中,劃摽2的倍数(用红色标出),序列变成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4. 如果现在这个序列中最大数小于最後一個標出的質數的平方,那么剩下的序列中所有的数都是質数,否则回到第二步。

  1. 本例中,因为25大于2的平方,我们返回第二步:
  2. 剩下的序列中第一个質数是3,将主序列中3的倍数划出(红色),主序列变成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  1. 我们得到的質数有:2,3
  2. 25仍然大于3的平方,所以我们还要返回第二步:
  3. 现在序列中第一个質数是5,同样将序列中5的倍数划出,主序列成了:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4. 我们得到的質数有:2, 3, 5 。
  5. 因为25等于5的平方,結束循环

结论:去掉红色的数字,2到25之间的質数是:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。

演算法[编辑]

埃拉托斯特尼篩法,可以用以下的伪代码來表示:

Input: an integer n > 1
 
Let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
 
 for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding n:
  if A[i] is true:
    for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n :
      A[j] := false
 
Output: all i such that A[i] is true.

以上演算法可以得到小於等於n的所有素数,它的複雜度是O(n log log n)

程式代码[编辑]

Python 3.6[编辑]

 1 def eratosthenes(n):
 2     P = [i for i in range(2, n+1)]
 3     p = 0
 4     while True:
 5         if P[p]**2 > P[-1]:
 6             break
 7         for i in P[p + 1:]:
 8             if i % P[p] == 0:
 9                 P.remove(i)
10         p += 1
11     return P
12 
13 if __name__ == "__main__":
14     print (eratosthenes(120))

C++[编辑]

 1 bool a[MAXN];
 2 void erat(int maxn)
 3 {
 4 	a[0]=1;
 5 	a[1]=1;
 6 	for(int i=2;i<=maxn;++i)
 7 	{
 8 		if(!a[i])
 9 		{
10 			for(int j=2*i;j<=maxn;j+=i)
11 			{
12 				a[j]=1;
13 			}
14 		}
15 	}
16 }

欧拉筛法[编辑]

欧拉筛法(Sieve of Euler)是埃拉托斯特尼筛法的一种改进有人称其为快速线性筛法。回顾经典的埃拉托斯特尼筛法,它可能对同一个质数筛去多次,故时间复杂度为O(n log log n)。如果用某种方法使得每个合数只被筛去一次就变成是线性的了。不妨规定每个合数只用其最小的一个质因数去筛,这便是欧拉筛了,时间复杂度 O(n).

代码实现[编辑]

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;    
 3 const long N = 200000;   
 4 long prime[N] = {0},num_prime = 0;    
 5 int isNotPrime[N] = {1, 1};   
 6 int main()    
 7 {     
 8      	for(long i = 2 ; i < N ; i ++)       
 9        	{            
10 	    	if(! isNotPrime[i])               
11 	 	    	prime[num_prime ++]=i;  
12 	    	//关键处1        
13 	    	for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)
14     		{               
15 		      	isNotPrime[i * prime[j]] = 1;  
16 	  	    	if( !(i % prime[j] ) )  //关键处2                  
17 		    		break;           
18 	    	}        
19     	}        
20 	return 0;   
21 }

代码解释[编辑]

首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。

不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,

①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等

②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数(2<=i<=n),  pi<=pj  ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j] 的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质数*i。

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话,当 i' 等于 i'=3*3*5 时,筛除2*i' 就和前面重复了。[2]

简单证明[编辑]

这个看似很简单, 其实还是要注意一下细节的. 搞清了证明其他的问题也就清楚了.

证明分两部分. 首先证每个合数都会被筛到 (正确性), 其次证每个合数只会被筛到一次 (复杂度).

每个合数都会被筛到

设有一合数(为质数),

则一定会在 时被筛去(此时),因为对于小于的质数, 一定不会被整除.

每个合数都只会被筛到一次

与上面一样, 还是设有一合数(为质数)

倘若存在一个质因子也筛去了 , 那么此时 .

  • 此时在内层循环中已经早早地 break 掉了, 因为
  • 此时  还没加进质数表 (顺便一提: 这种情况只有 可能 在  时发生)[3]

难以理解的地方[编辑]

为何不把 i % primes[j] == 0 放在前面?[编辑]

放前面的话, 所有的“某个质因子的次数不为1”的合数便会被当成质数. 至于为什么, 请看证明.

为何没有 j < totPrimes ?[编辑]

  • 当为质数时, 内层循环会在最后一个质数 (也就是  自己) 终止
  • 当为合数时, 内层循环会在它的第一个质因数终止

当然加了也没有问题.[3]

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Nicomachus, Introduction to Arithmetic, I, 13. [1]
  2. ^ 一般筛法求素数+快速线性筛法求素数 - CSDN博客. blog.csdn.net. [2018-02-20]. 
  3. ^ 3.0 3.1 __debug. 筛法小结 (Eratosthenes/Euler). __debug's Home. 2015-09-29 [2018-02-20] (英语). 
  • Κοσκινον Ερατοσθενους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), pp. 327-347.

拓展阅读[编辑]