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埃拉托斯特尼筛法

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埃拉托斯特尼筛法（希臘語：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英语：sieve of Eratosthenes ），簡稱埃氏筛，也有人称素数筛。这是一種簡單且历史悠久的筛法，用來找出一定範圍內所有的質數。

所使用的原理是從2開始，將每個質數的各個倍數，標記成合數。一個質數的各個倍數，是一個差為此質數本身的等差數列。此為這個篩法和試除法不同的關鍵之處，後者是以質數來測試每個待測數能否被整除。

埃拉托斯特尼篩法是列出所有小質數最有效的方法之一，其名字來自於古希臘數學家埃拉托斯特尼，並且被描述在另一位古希臘數學家尼科馬庫斯所著的《算術入門》中。[1]

算式[编辑]

给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一個質數，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一個質數5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不斷重複下去......。

步驟[编辑]

埃拉托斯特尼筛法

详细列出算法如下：

  1. 列出2以後的所有序列：
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  2. 标出序列中的第一个質数，也就是2，序列变成：
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  3. 将剩下序列中，劃摽2的倍数（用红色标出），序列变成：
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4. 如果现在这个序列中最大数小于最後一個標出的質數的平方，那么剩下的序列中所有的数都是質数，否则回到第二步。
  1. 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
  2. 剩下的序列中第一个質数是3，将主序列中3的倍数划出（红色），主序列变成：
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  1. 我们得到的質数有：2，3
  2. 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
  3. 现在序列中第一个質数是5，同样将序列中5的倍数划出，主序列成了：
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4. 我们得到的質数有：2, 3, 5 。
  5. 因为25等于5的平方，結束循环

结论：去掉红色的数字，2到25之间的質数是：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。

演算法[编辑]

埃拉托斯特尼篩法，可以用以下的伪代码來表示： 

Input: an integer n > 1
 
Let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
 
 for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding √n:
  if A[i] is true:
    for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n :
      A[j] := false
 
Output: all i such that A[i] is true.

以上演算法可以得到小於等於n的所有素数，它的複雜度是O(n log log n)。

程式代码[编辑]

Python 3.6[编辑]

 1 def eratosthenes(n):
 2     IsPrime = [True] * (n + 1)
 3     IsPrime[1] = False
 4     for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
 5         if IsPrime[i]:
 6             for j in range(i * 2, n + 1, i):
 7                 IsPrime[j] = False
 8     return {x for x in range(2, n + 1) if IsPrime[x]}
 9 
10 if __name__ == "__main__":
11     print (eratosthenes(120))

C++[编辑]

 1 bool flag[MAXN] = {1};    //将标识初始化为true
 2 void erat(int maxn)
 3 {
 4 	flag[0]=0;            //0不是素数
 5 	flag[1]=0;            //1不是素数
 6 	for(int i=2;i<=maxn;++i)
 7 	{
 8          /*当i为素数时，i的所有倍数都不是素数*/
 9 		if(flag[i])
10 		{
11 			for(int j=i*i;j<=maxn;j+=i)
12 			{
13 				flag[j]=0;
14 			}
15 		}
16 	}
17 }

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Nicomachus, Introduction to Arithmetic, I, 13. [1]
  • Κοσκινον Ερατοσθενους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), pp. 327-347.

拓展阅读[编辑]

素性测试
素数生成
整数分解
乘法算法
离散对数
最大公因數
二次剩余
其他算法
  • 斜体表示该算法只适用于特殊形式的数字
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