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莫雷拉定理

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莫雷拉定理是一個用來判斷函數是否全純的定理。

如果f是一個連續的複值函數,定義在複數平面上的開集D內,且對於所有D內的閉曲線C,都滿足

fD內是全純的。

莫雷拉定理的假設等於是說fD內具有原函數。

該定理的逆命題不一定成立。全純函數在定義域內並不一定有原函數,除非加上更多條件。例如,柯西積分定理說明全純函數沿着一條閉曲線路徑積分為零,只要函數的定義域是單連通的。

證明

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莫雷拉定理有一個相對簡單的證明。不失一般性,我們可以假設D連通的。固定D內的一個點a,並定義D內的一個複值函數F

這個積分可以是沿着D內從ab的任何一條路徑。函數F是定義良好的,因為根據假設,f沿着從ab的任何兩條曲線的積分一定是相等的。根據微積分基本定理,可知F導數f

特別地,函數F是全純的。則f也一定是全純的,因為它是全純函數的導數。

應用

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一致極限

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假設f1f2, ...是一個全純函數的序列,在開圓盤內均勻收斂於連續函數f。根據柯西積分定理,可知對每個n,順着任意圓盤內的閉曲線C

而一致收斂則意指,對每個閉曲線C

,因此根據莫雷拉定理,f 一定是全純函數。這個事實可以用來證明對每一個開集Ω ⊆ C,由所有有界解析函數u : Ω → C 所組成的集合A(Ω) 會是一個在最小上界範數下的複巴拿赫空間。

無窮級數和積分

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莫雷拉定理可以用於證明由級數或積分所定義的函數的解析性,例如黎曼ζ函數

伽瑪函數

參考文獻

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  • Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, January 1, 1979, ISBN 978-0070006577 
  • Conway, John B., Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, April 1, 2001, ISBN 978-3540903284 
  • G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (2) 19 (1886) 304–307
  • Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, May 1, 1986, ISBN 978-0070542341 

外部連結

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