數學上,任一的
離散線性轉換皆可表示成矩陣(Matrix) 的型式:
再進一步假設,若矩陣
by正交基底 (Orthogonal basis) 列向量(Row vector) 所組成:
也可表示成級數和形式(Summation form):
其中
代表內積運算(Inner product)。
同理也可假設,若矩陣
by正交基底行向量(Column vector) 所組成:
也可表示成級數和:
假若
時,則
可得
大致上,可簡單化將矩陣分類由(a)列向量(Row Vector)或(b)行向量(Column Vector)所組成。
若
其中,
和
為一組列向量的正交集合且稱
為一種離散正交轉換。
再者,若滿足
。則
和
將組成一組列向量的正規化正交集合且稱
為一種離散正規化正交轉換。
此時,我們可利用
和
來求得
的反矩陣:
其中
。再者,也可表示成級數和(Summation)形式:
若
,即簡化成,
若
其中,
和
為一組行向量的正交集合且也稱
是一種離散正交轉換。
再者,若滿足
。則
和
將組成一組行向量的正規化正交集合且稱
為一種離散正規化正交轉換。
此時,我們再利用
和
來組成
的反矩陣:
其中
。再者,也可表示成級數和:
若
,即簡化成,
如:哈恩轉換、Krawtchouk多項式、Charlier多項式。
- 順向轉換(Forward Transform):列向量型式
反向轉換(Inverse Transform):行向量型式。
- 順向轉換(FT):行向量型式
反向轉換(IT):列向量型式。
- 若為行向量所組成的正規化正交矩陣,則它所對應的列向量形成的反矩陣
必為正規化正交矩陣。
- 若為列向量所組成的正規化正交矩陣,則它所對應的行向量形成的反矩陣
必為正規化正交矩陣。
- 彼此間的列向量(或行向量)不會互相產生干擾(Interference)。
- 在同一維度(dimension)下,DOT提供正交矩陣內的列向量(或行向量) 彼此間重要的正交特性,可藉由此避免其他使用者干擾進而來實現多工存取技術。
- 此外,離散正交轉換較非正交轉換(Non-orthogonal Transform)計算上較為簡單。
- 將DOT應用於影像重建(Reconstruction) 或壓縮上,可藉由增加正交基底(Orthogonal basis)來控制誤差的產生,是採用非正交轉換所能及的。
通常對於影像重建或壓縮上大都採用局部重建(Parital reconstruction)的機制,即:
(a) 正交情況下
因此,對於局部重建所產生的平方誤差(Sqaure error):
從此結果可發現
必定為正的,因此可藉由增加正交基底數來改善影像重建後的平方誤差值。
(b)非正交情況下
因此,對於局部重建所產生的平方誤差:
從此結果可發現
不一定為正的,所以無法利用增加基底數來改善平方誤差。