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K·p微擾論

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K·p微擾論又名K·p微擾法,是固體物理中用來計算固體能帶結構和光學性質的一種微擾方法,因微擾哈密頓算符中出現了正比於簡約波向量(k)與動量算符(p)內積的項而得名。該方法可以近似估計半導體中的電子在導帶底的有效質量[1][2]

背景

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在晶體中,勢場具有週期性,如果給其中電子的波函數加以週期性邊界條件,則波函數將具有布洛赫波的形式:[1]

其中是簡約波向量,是週期函數,且週期與晶格的週期完全相同。[1]

將該表達式代入定態薛定諤方程式,可得滿足的方程式。該方程式在形式上類似於定態薛定諤方程式:[1]

其「哈密頓算符」為:

微擾方法

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K·p微擾論適用於簡約波向量較小的情形下。此時可將「哈密頓算符」中不含有簡約波向量的項視為無微擾的「哈密頓算符」,把含有簡約波向量的項視為「微擾哈密頓算符」,即:[1]

利用微擾方法可以用所有的線性組合表達某個能帶的,進而給出能量與簡約波向量的近似關係。如果是不簡併的,考慮到一級修正後的表達式為:[1]

考慮二級修正以後能量的表達式為:[1]

電子的倒有效質量張量近似為:[1]

應用

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直接帶隙半導體中,導帶底部的電子對應的簡約波向量為零,它的有效質量可運用K·p微擾論近似計算。微擾論中最近鄰態的微擾貢獻最大。導帶底和價帶頂的態互為最近鄰態,僅考慮彼此的微擾貢獻,K·p微擾論的結果可進一步簡化為:[1]

式中為導帶底與價帶頂的能量差,即帶隙;腳標v和c分別指代價帶頂與導帶底的態。如果所考慮的導帶底是旋轉對稱的,倒有效質量張量可以用一個純量代替:[1]

表明半導體的帶隙越小,導帶底電子有效質量也越小。對通常的半導體來說,導帶底電子的有效質量遠小於電子的真實質量,且矩陣元與電子真實質量的比值近似為一個常量10eV。故:[1]

該公式給出的導帶底電子有效質量近似值與絕大多數IV族、III-V族、II-VI族直接帶隙半導體實測值的誤差在15%以內。[3]

推廣

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如果考慮自旋-軌道作用,仍然可以用類似方法處理。此時「哈密頓算符」應寫為:[2]

如果有簡併,需要使用簡併微擾理論。[4]Luttinger–Kohn模型英語Luttinger–Kohn model可以處理這類問題。[5]

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 黃昆、韓汝琦. 固体物理学. 高等教育出版社. 1988: p328. 
  2. ^ 2.0 2.1 C. Kittel. Quantum Theory of Solids Second Revised Printing. New York: Wiley. 1987: 186–190. ISBN 0-471-62412-8. 
  3. ^ 參見Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)一書中表2.22
  4. ^ P. Yu, M. Cardona. Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties 3rd. Springer. 2005. Section 2.6, pp. 68 ff' [2016-06-19]. ISBN 3-540-25470-6. (原始內容存檔於2017-04-21). 
  5. ^ J. M. Luttinger, W. Kohn. Motion of Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields. Physical Review. 1955, 97: 869. Bibcode:1955PhRv...97..869L. doi:10.1103/PhysRev.97.869.