討論:域 (數學)

定義

F是一個集合

二元操作符可用任何符號做標記。視應用而定。比如當F的元素為集合Ω的子集時，一般記為'∩'和'$\Delta$'，更一般的把它們記為+和.（這就是原因叫作加跟乘）。

域（F,兩個二元操作符）滿足下列性質：

1. F對兩個操作封閉。

2. 一個操作（.或∩）對另一個操作(+或)符合分配律。

3. 兩個操作都符合結合率。(a+b)+c=a+(b+c) (a.b).c=a.(b.c)

4. 兩個操作都符合交換率。a+b=b+a a.b=b.a

5. 兩個操作都存在標識元。a+0=a ($a\Delta$ø=a) a.1=a (a∩Ω)=a

6. 兩個操作都存在逆元。a+(-a)=0 (a$\Delta$a'=Ω) a.a^(-1)=1 (a∩a')=ø

最好將環，半環，群，半群等都列在一起。 A group (F,one operator) satisfies the following property:

F is closed for the operation.

The operation is associative.

Identity for the operation is included.

Inverses for the operation is included.

A semigroup doesn't require the identity and inverses.

環（F,兩個二元操作符）滿足下列性質(環比域要定義的松一些)：

1. F對兩個操作封閉。

2. 一個操作（.或∩）對另一個操作(+或$\Delta$)符合分配律。

3. 兩個操作都符合結合率。

4. 一個操作都符合交換率。

5. 可交換操作都存在標識元和逆元。

6. 另一個操作都存在標識元。

A semiring doesn't require the inverses for the commutative operation included in F.

A ring becomes a field when two operations are commutative and have inverses included.

A field is a ring, a ring is a semiring, a semiring is a group.

僅供參考。Jackzhp 23:26 2006年9月4日 (UTC)

一些補充信息

Ω集合，2^Ω (或記為P(Ω))的子集S是semi-algebra半代數，如果

1. 空集和Ω屬於S。

2. 對有限交封閉。

3. 如A屬於S，A的補=UBi, Bi屬於S, Bi∩Bj=空

S是algebra代數/field域，如果

1. 空集和Ω屬於S。

2. 對有限並封閉。

3. 對補封閉。

由2和3，可以推出對有限交封閉。

S是σ-algebraσ代數/σfieldσ域，如果

1. 空集和Ω屬於S。

2. 對可數並封閉。

3. 對補封閉。

當域對可數並封閉，這個域就是一個σ域。 將半代數中互不相交的元素進行有限並將形成一個代數。你可以嘗試將證明貼在下面。Jackzhp 16:36 2006年9月8日 (UTC)