相互資訊

獨立的(H(X),H(Y)), 聯合的(H(X,Y)), 以及一對帶有相互資訊 I(X; Y) 的相互關聯的子系統 X,Y 的條件熵。

在概率論和資訊論中，兩個隨機變數的相互資訊（mutual Information，MI）度量了兩個變數之間相互依賴的程度。具體來說，對於兩個隨機變數，MI是一個隨機變數由於已知另一個隨機變數而減少的「資訊量」（單位通常為位元）。相互資訊的概念與隨機變數的熵緊密相關，熵是資訊論中的基本概念，它量化的是隨機變數中所包含的「資訊量」。

MI不僅僅是度量實值隨機變數和線性相關性(如相關係數)，它更為通用。MI決定了隨機變數${\displaystyle (X,Y)}$的聯合分佈與$X$和$Y$的邊緣分佈的乘積之間的差異。MI是點相互資訊（Pointwise Mutual Information，PMI）的期望。克勞德·香農在他的論文A Mathematical Theory of Communication中定義並分析了這個度量，但是當時他並沒有將其稱為「相互資訊」。這個詞後來由羅伯特·法諾創造。相互資訊也稱為資訊增益。

相互資訊的定義

設隨機變數${\displaystyle (X,Y)}$是空間${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}$中的一對隨機變數。若他們的聯合分佈是${\displaystyle p(x,y)}$，邊緣分佈分別是${\displaystyle p(x)}$和${\displaystyle p(y)}$，那麼，它們之間的相互資訊可以定義為：

${\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)\otimes p(y))}$

其中，${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }}$為KL散度(Kullback–Leibler divergence)。注意，根據KL散度的性質，若聯合分佈$p(x,y)$等於邊緣分佈$p(x)$和$p(y)$的乘積，則$I(X;Y)=0$，即當$X$和$Y$相互獨立的時候，觀測到Y對於我們預測X沒有任何幫助，此時他們的相互資訊為0。

離散變數的相互資訊

離散隨機變數 X 和 Y 的相互資訊可以計算為：

$I(X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)},\,\!$

其中 p(x, y) 是 X 和 Y 的聯合概率質素函數，而 $p(x)$ 和 $p(y)$ 分別是 X 和 Y 的邊緣概率質素函數。

連續變數的相互資訊

在連續隨機變數的情形下，求和被替換成了二重定積分：

$I(X;Y)=\int _{Y}\int _{X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}\;dx\,dy,$

其中 p(x, y) 當前是 X 和 Y 的聯合概率密度函數，而 $p(x)$ 和 $p(y)$ 分別是 X 和 Y 的邊緣概率密度函數。

如果對數以 2 為基底，相互資訊的單位是bit。

直觀上，相互資訊度量 X 和 Y 共用的資訊：它度量知道這兩個變數其中一個，對另一個不確定度減少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互獨立，則知道 X 不對 Y 提供任何資訊，反之亦然，所以它們的相互資訊為零。在另一個極端，如果 X 是 Y 的一個確定性函數，且 Y 也是 X 的一個確定性函數，那麼傳遞的所有資訊被 X 和 Y 共用：知道 X 決定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形相互資訊與 Y（或 X）單獨包含的不確定度相同，稱作 Y（或 X）的熵。而且，這個相互資訊與 X 的熵和 Y 的熵相同。（這種情形的一個非常特殊的情況是當 X 和 Y 為相同隨機變數時。）

相互資訊是 X 和 Y 的聯合分佈相對於假定 X 和 Y 獨立情況下的聯合分佈之間的內在依賴性。 於是相互資訊以下面方式度量依賴性：I(X; Y) = 0 若且唯若 X 和 Y 為獨立隨機變數。從一個方向很容易看出：當 X 和 Y 獨立時，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：

$\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}=\log 1=0.\,\!$

此外，相互資訊是非負的（即 $I(X;Y)\geq 0$; 見下文），而且是對稱的（即 $I(X;Y)=I(Y;X)$）。

與其他量的關係

相互資訊又可以等價地表示成

${\begin{aligned}I(X;Y)&{}=H(X)-H(X|Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X)\\&{}=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\&{}=H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)\end{aligned}}$

其中 $\ H(X)$ 和 $\ H(Y)$ 是邊緣熵，H(X|Y) 和 H(Y|X) 是條件熵，而 H(X,Y) 是 X 和 Y 的聯合熵。注意到這組關係和併集、差集和交集的關係類似，於是用Venn圖表示。

在相互資訊定義的基礎上使用琴生不等式，我們可以證明 I(X;Y) 是非負的，因此 $\ H(X)\geq H(X|Y)$。這裏我們給出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的詳細推導:

${\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}}\\&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)}}-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x,y}p(x)p(y|x)\log p(y|x)-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x}p(x)\left(\sum _{y}p(y|x)\log p(y|x)\right)-\sum _{y}\log p(y)\left(\sum _{x}p(x,y)\right)\\&{}=-\sum _{x}p(x)H(Y|X=x)-\sum _{y}\log p(y)p(y)\\&{}=-H(Y|X)+H(Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X).\\\end{aligned}}$

上面其他性質的證明類似。

直觀地說，如果把熵 H(Y) 看作一個隨機變數於不確定度的量度，那麼 H(Y|X) 就是"在已知 X 事件後Y事件會發生"的不確定度。於是第一個等式的右邊就可以讀作「將"Y事件的不確定度"，減去 --- "在基於X事件後Y事件因此發生的不確定度"」。

這證實了相互資訊的直觀意義為: "因X而有Y事件"的熵( 基於已知隨機變數的不確定性) 在"Y事件"的熵之中具有多少影響地位( "Y事件所具有的不確定性" 其中包含了多少 "Y|X事件所具有的不確性" )，意即"Y具有的不確定性"有多少程度是起因於X事件;

    舉例來說，當 I(X;Y) = 0時，也就是 H(Y) = H(Y|X)時，即代表此時 "Y的不確定性" 即為 "Y|X的不確定性"，這說明了互信息的具體意義是在度量兩個事件彼此之間的關聯性。

所以具體的解釋就是: 相互資訊越小，兩個來自不同事件空間的隨機變數彼此之間的關聯性越低; 相互資訊越高，關聯性則越高 。

注意到離散情形 H(X|X) = 0，於是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y)，我們可以制定」一個變數至少包含其他任何變數可以提供的與它有關的資訊「的基本原理。

相互資訊也可以表示為兩個隨機變數的邊緣分佈 X 和 Y 的乘積 p(x) × p(y) 相對於隨機變數的聯合熵 p(x,y) 的相對熵：

$I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)p(y)).$

此外，令 p(x|y) = p(x, y) / p(y)。則

${\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{y}p(y)\sum _{x}p(x|y)\log _{2}{\frac {p(x|y)}{p(x)}}\\&{}=\sum _{y}p(y)\;D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\\&{}=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\}.\end{aligned}}$

注意到，這裏相對熵涉及到僅對隨機變數 X 積分，表達式 $D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))$ 現在以 Y 為變數。於是相互資訊也可以理解為相對熵 X 的單變數分佈 p(x) 相對於給定 Y 時 X 的條件分佈 p(x|y) ：分佈 p(x|y) 和 p(x) 之間的平均差異越大，資訊增益越大。

連續相互資訊的量化

對連續型隨機變數量化的定義如下：

$f(x_{i})\Delta =\int _{i\Delta }^{(i+1)\Delta }f(x)dx=p_{i}$

量化後的隨機變數$X^{\Delta }$:

$X^{\Delta }=x_{i},i\Delta \leq X<(i+1)\Delta$。

則,

$I(X^{\Delta };Y^{\Delta })=H(X^{\Delta })-H(X^{\Delta }|Y^{\Delta })$

$\approx h(X)-log{\Delta }-(h(X|Y)-log{\Delta })$

$=I(X;Y)$

廣義而言，我們可以將相互資訊定義在有限多個連續隨機變數值域的劃分。

令$\chi$為連續型隨機變數的值域，$P_{i}\in P$, 其中$P$為$\chi$劃分所構成的集合，意即$\cup _{i}P_{i}=\chi$。

以$P$量化連續型隨機變數$X$後，所得結果為離散型隨機變數,

$Pr([X]_{P}=i)=\int _{P_{i}}dF(x)$。

對於兩連續型隨機變數X、Y，其劃分分別為P、Q，則其相互資訊可表示為：

$I(X;Y)={\underset {P,Q}{sup}}I([X]_{P};[Y]_{Q})$。

參見

• 點間相互資訊
• 量子相互資訊

參考文獻

• Cilibrasi, Rudi; Paul M.B. Vitan´ yi. Clustering by compression (PDF). IEEE Transactions on Information Theory. 2005, 51 (4): 1523–1545. doi:10.1109/TIT.2005.844059. 
• Cronbach L. J. (1954). On the non-rational application of information measures in psychology, in Henry Quastler, ed., Information Theory in Psychology: Problems and Methods, Free Press, Glencoe, Illinois, pp. 14–30.
• Church, Kenneth Ward; Hanks, Patrick. Word association norms, mutual information, and lexicography (PDF). Proceedings of the 27th Annual Meeting of the Association for Computational Linguistics. 1989. 
• Guiasu, Silviu. Information Theory with Applications. McGraw-Hill, New York. 1977. ISBN 978-0070251090. 
• Li, Ming; Paul M.B. Vitan´ yi. An introduction to Kolmogorov complexity and its applications. New York: Springer-Verlag. February 1997. ISBN 0-387-94868-6. 
• Lockhead G. R. (1970). Identification and the form of multidimensional discrimination space, Journal of Experimental Psychology 85(1), 1–10.
• David J. C. MacKay. Information Theory, Inference, and Learning Algorithms Cambridge: Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-64298-1 (available free online)
• Haghighat, M. B. A., Aghagolzadeh, A., & Seyedarabi, H. (2011). A non-reference image fusion metric based on mutual information of image features. Computers & Electrical Engineering, 37(5), 744-756.
• Athanasios Papoulis. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, second edition. New York: McGraw-Hill, 1984. (See Chapter 15.)
• Witten, Ian H. & Frank, Eibe. Data Mining: Practical Machine Learning Tools and Techniques. Morgan Kaufmann, Amsterdam. 2005 [2015-04-02]. ISBN 978-0-12-374856-0. （原始內容存檔於2020-11-27）. 
• Peng, H.C., Long, F., and Ding, C. Feature selection based on mutual information: criteria of max-dependency, max-relevance, and min-redundancy. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2005, 27 (8): 1226–1238 [2015-04-02]. doi:10.1109/tpami.2005.159. （原始內容存檔於2009-05-22）. 
• Andre S. Ribeiro, Stuart A. Kauffman, Jason Lloyd-Price, Bjorn Samuelsson, and Joshua Socolar. Mutual Information in Random Boolean models of regulatory networks. Physical Review E. 2008, 77 (1). arXiv:0707.3642 . 
• Wells, W.M. III; Viola; P.; Atsumi; H.; Nakajima; S.; Kikinis; R. Multi-modal volume registration by maximization of mutual information (PDF). Medical Image Analysis. 1996, 1 (1): 35–51 [2015-04-02]. PMID 9873920. doi:10.1016/S1361-8415(01)80004-9. （原始內容 (PDF)存檔於2008-09-06）.