格雷碼

格雷碼（循環二進制單位距離碼）是任意兩個相鄰數的代碼只有一位二進制數不同的編碼，它與奇偶校驗碼同屬可靠性編碼。

簡介

格雷碼（Gray code）是由貝爾實驗室的Frank Gray在1940年提出，用於在PCM（脈衝編碼調變）方法傳送訊號時防止出錯，並於1953年三月十七日取得美國專利。格雷碼是一個數列集合，相鄰兩數間只有一個位元改變，為無權數碼，且格雷碼的順序不是唯一的。

格雷碼能避免訊號傳送錯誤的原理

傳統的二進位系統例如數字3的表示法為011，要切換為鄰近的數字4，也就是100時，裝置中的三個位元都得要轉換，因此於未完全轉換的過程時裝置會經歷短暫的，010,001,101,110,111等其中數種狀態，也就是代表着2、1、5、6、7，因此此種數字編碼方法於鄰近數字轉換時有比較大的誤差可能範圍。格雷碼的發明即是用來將誤差之可能性縮減至最小，編碼的方式定義為每個鄰近數字都只相差一個位元，因此也稱為最小差異碼，可以使裝置做數字步進時只更動最少的位元數以提高穩定性。數字0～7的編碼比較如下：

十進位　格雷碼　二進位

0  　　 000    000
1  　　 001    001
2   　　011    010
3   　　010    011
4   　　110    100
5   　　111    101
6   　　101    110
7   　　100    111

直接排列

以二進制為0值的格雷碼為第零項，第一項改變最右邊的位元，第二項改變右起第一個為1的位元的左邊位元，第三、四項方法同第一、二項，如此反覆，即可排列出n個位元的格雷碼。

鏡射排列

n位元的格雷碼可以從n-1位元的格雷碼以上下鏡射後加上新位元的方式快速的得到，如右圖所示一般。

二進位數轉格雷碼

（假設以二進制為0的值做為格雷碼的0）
G：格雷碼 B：二進制碼 n：正在計算的位
根據格雷碼的定義可得：
G(n) = B(n+1) XOR B(n)
即
G(n) = B(n+1) + B(n)
自低位至高位運算即可，無需考慮進位，例略。

2位元格雷碼

3位元格雷碼

4位元格雷碼

4位元2進制原始碼

格雷碼轉二進位數

由於G(n) = B(n+1) + B(n)
故而B(n) = B(n+1)-G(n)
自高位至低位運算即可，無需考慮借位。

例：格雷碼0111，為4位數，故設二進制數自第5位至第1位分別為：0 b3 b2 b1 b0。
b3= 0-0 =0
b2=b3-1=0-1=1
b1=b2-1=1-1=0
b0=b1-1=0-1=1
因此所轉換為之二進位碼為0101

應用

格雷碼與相位移在三維曲面量測：利用格雷碼投射在微型曲面做量測一個非接觸式、投影的方法光學測量。
在化簡邏輯函數時，可以通過按格雷碼排列的卡諾圖來完成。

和格雷碼有相同數學模式的玩具

中國的古老益智玩具九連環有着和格雷碼完全相同的數學模式，外國一款名為spin out的玩具也是運用相同的數學模式。

參考來源

文獻

柯利弗德·皮寇弗; 陳以禮（翻譯）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [數學之書]. 時報文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （中文（繁體））.

引用