正规序

在量子场论中，一组创生及湮灭算符的乘积称为是按正规序排列的，如果所有的创生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

记号

令${\hat {O}}$为任意创生和湮灭算符之乘积，则我们将${\hat {O}}$按照正规序重新排列之后得到的算符用${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ 或 ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$表示。注意正规序只对算符乘积有意义，因为正规序不是线性关系，将正规序用在算符和并无太大作用。

玻色子

玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。

单个玻色子

单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：

• ${\hat {b}}^{\dagger }$：玻色子的产生算符
• ${\hat {b}}$：玻色子的湮灭算符

则有：

$\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1$

其中 $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ 表示两个算符的对易子。

例子

1. 最简单的例子是 ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ 的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$的正规序就是它自身：

${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.$

2. 第二个例子是 ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$ 的正规序，

${:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.$

这里，按照正规序的要求，产生算符 ${\hat {b}}^{\dagger }$ 放到了湮灭算符 ${\hat {b}}$的左边。由玻色子算符的对易关系有：

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.$

在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子：

${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.$

多个玻色子

对于 $N$ 个不同的玻色子来说，有 $2N$ 个算符：

• ${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$：第 $i$ 个玻色子的产生算符
• ${\hat {b}}_{i}$：第 $i$ 个玻色子的湮灭算符

其中 $i=1,\ldots ,N$.

它们满足下列对易关系：

$\left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}$

其中 $i,j=1,\ldots ,N$，$\delta _{ij}$ 是克罗内克函数。

例子

1.对于两个玻色子 ($N=2$) ，有：

$:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}$

$:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}$

2. 对三个玻色子 ($N=3$) ，有：

$:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$

由于 ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

费米子

费米子服从费米-狄拉克统计。

单个费米子

单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：

• ${\hat {f}}^{\dagger }$：费米子的产生算符
• ${\hat {f}}$：费米子的湮灭算符

它们满足下面的反对易关系：

$\left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1$

其中 $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ 是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

例子

1. 最简单的例子是：

$:{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：

$:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$

由费米子算符的反对易关系有：

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.$

与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：

$:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0$

多个费米子

$N$ 个费米子有 $2N$ 个产生湮灭算符，设：

• ${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$为第 $i$ 个费米子的产生算符
• ${\hat {f}}_{i}$为第 $i$个费米子的湮灭算符

其中 $i=1,\ldots ,N$.

它们满足下列反对易关系：

$\left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}$

其中 $i,j=1,\ldots ,N$， $\delta _{ij}$ 是克罗内克函数。

例子

1. 对两个费米子 ($N=2$) ，有：

$:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 ($N=3$) ，有：

$:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

类似地有：

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

$:{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}$

量子场论中的应用

任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说，$\langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }$以及${\hat {a}}|0\rangle$都是0。

这里 ${\hat {a}}^{\dagger }$ 和 ${\hat {a}}$ 分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

参考文献

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
• T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268