法图引理

在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

叙述

设$(S,\Sigma ,\mu )$为一个测度空间， $(f_{n})_{n\geq 0}$是一个实值的可测正值函数列。那么：

$\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

证明

定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设$f$为函数列$(f_{n})_{n\geq 0}$ 的下极限。对每个正整数$k$，逐点定义下极限函数：

$g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}.$

于是函数列$g_{1},g_{2},\ldots$单调递增并趋于$f$ 。

任意$k\leq n$，我们有$g_{k}\leq f_{n}$，因此

$\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu ,$

于是

$\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu .$

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

$\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

反向法图引理

令$(f_{n})$为测度空间$(S,\Sigma ,\mu )$中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 $S$上可积的正值函数$g$，使得对所有的$n$都有$f_{n}\leq g$，那么

$\int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .$

这里$g$只需弱可积，即$\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$。

证明：对函数列$(g-f_{n})$应用法图引理即可。

推广

推广到任意实值函数

法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令$(f_{n})_{n\geq 0}$为测度空间$(S,\Sigma ,\mu )$中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在$S$上可积的正值函数$g$，使得对所有的$n$都有$f_{n}\geq g$，那么

证明：对函数列$\scriptstyle (f_{n}-g)$应用法图引理即可。

逐点收敛

在以上的条件下，如果函数列在$S$上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数$\scriptstyle f$，那么

$\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

证明：$\scriptstyle f$是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

如果函数列在$S$上依测度收敛到$f$，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在$\scriptstyle (f_{n})$的一个子列使得

$\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.$

这个子列仍然依测度收敛到$\scriptstyle f$，于是又存在这个子列的一个子列在$S$上μ-几乎处处逐点收敛到$f$，于是命题成立。

外部链接

• 法图引理. PlanetMath. 

参考来源

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.