波包

实线是波包，虚线是波包的包络。当波包传播于空间时，包络以群速度移动。

在任意时刻，波包（wave packet）是局限在空间的某有限范围区域内的波动，在其他区域的部分非常微小，可以被忽略。波包整体随着时间流易移动于空间。波包可以分解为一组不同频率、波数、相位、波幅的正弦波，也可以从同样一组正弦波构成；在任意时刻，这些正弦波只会在空间的某有限范围区域相长干涉，在其它区域会相消干涉。描绘波包轮廓的曲线称为包络线。依据不同的演化方程，在传播的时候，波包的包络线（描绘波包轮廓的曲线）可能会保持不变（没有色散），或者包络线会改变（有色散）。

在量子力学中，波包可以用来代表粒子，表示粒子的概率波；也就是说，表现于位置空间，波包在某时间、位置的波幅平方，就是找到粒子在那时间、位置的概率密度；在任意区域内，波包所囊括面积的绝对值平方，就是找到粒子处于那区域的概率。粒子的波包越狭窄，则粒子位置的不确定性越小，而动量的不确定性越大；反之亦然。这位置的不确定性和动量的不确定性，两者之间无可避免的关系，是不确定性原理的一个标准案例。

描述粒子的波包满足薛定谔方程，是薛定谔方程的数学解。通过含时薛定谔方程，可以预测粒子随着时间演化的量子行为。这与在经典力学里的哈密顿表述很类似。

历史背景

早在十七世纪，艾萨克·牛顿就提出了光微粒说，即光是由很多离散的粒子所构成，其中每一个粒子都遵守牛顿运动定律。他的主要反对者罗伯特·胡克、克里斯蒂安·惠更斯则主张光波动说：光是一种传播于介质中的波动。十九世纪，物理学者发现，在许多实验中，光表现出波动行为。其中一个特别着名的实验是双缝实验，这是英国物理学者托马斯·杨于1801年完成的实验。从这实验观察到的干涉图样给予光微粒说严重打击，因为光微粒说无法说明这现象，而光波动说可以。很多物理学者因此改变立场，采纳了光波动说。

在20世纪初，科学家发现经典力学存在着很多严峻问题，越来越多实验结果无法用经典理论来解释。到了1930年代，物理学者开始采纳波粒二象性，即物质具有波动性与粒子性。在这段时期，量子力学如火如荼的发展造成了理论方面的重大突破。许多困惑物理学者多年的实验结果，都能够得到圆满合理的解释。例如，1905年，阿尔伯特·爱因斯坦对光电效应的理论解析。按照爱因斯坦的理论解析，光的能量并非均匀分布，而是负载于离散的量子包，现称为光子。每个光子的能量$E$与频率$\nu$之间的关系为

$E=h\nu$；

其中，$h$是普朗克常数。

在光电效应里，光子的频率必须超过被冲击金属的特征极限频率（对应于金属的逸出功），才能使金属表面的电子获得足够能量逃逸出来，否则，不论辐照率有多高，都无法使得电子从金属表面逃逸出来。

二十世纪，量子力学持续地蓬勃发展。它所展现的绘景是一种粒子世界。在这粒子世界里，每一种物质都是由粒子形成，每一种现象都是由粒子彼此互相作用而产生；可是，这些粒子的量子行为都是用概率波来描述。所有的量子行为都被约化为这些概率波的演化。至今，量子世界的粒子性已被许多实验证实，波动现象可以被诠释为粒子的波包秉性的特征后果。

范例

非色散传播

一个正在传播中，非色散的波包。

举一个非色散传播范例，思考波动方程：

$\nabla ^{2}u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$；

其中，$u$是波动函数，$t$是时间，$v$是波动在某介质里的传播速度。

采用物理时间常规$e^{-i\omega t}$，波动方程的平面波解是

$u(\mathbf {x} ,\,t)=e^{i{(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }-\omega t)}$；

其中，$\mathbf {x}$是位置向量，$\mathbf {k}$是波数向量，$\omega$是角频率。

为了满足平面波为波动方程的解，角频率和波数的色散关系为

$\omega ^{2}=|\mathbf {k} |^{2}v^{2}=(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})v^{2}$。

为了便于计算，只考虑波传播于一维空间，则波动方程的一般解是

$u(x,\,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)}$；

其中，方程右边的第一项表示往正$x$方向传播的波动，第二项表示往负$x$方向传播的波动。

波包是在局部区域里一组波的叠加。假若，波包是强劲存在于局部区域，则需要更多的频率来达成局部区域内的相长叠加，与局部区域外的相消叠加。这样，从基本平面波解，一般的波包可以表示为

$u(x,\,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ dk$；

其中，因子$1/{\sqrt {2\pi }}$是由傅里叶变换的常规而设定，振幅$A(k)$是线形叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数可以表达为

$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,\,0)~e^{-ikx}\,dx$；

其中，$u(x,\,0)$是波包在初始时间$t=0$的函数形式。

所以，知道波包在时间$t=0$的函数形式$u(x,\,0)$，应用傅里叶变换，可以计算出波包在任何时间的函数形式$u(x,\,t)$。

例如，选择初始时间的函数形式为

$u(x,\,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x}$。

经过一番运算，可以得到

$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}}$、

$u(x,\,t)=e^{-(x-vt)^{2}+ik_{0}(x-vt)}$。

这个波包的实值部分或虚值部分的非散色传播展示于前面动画。

色散传播

再举一个有色散传播例子，思考薛定谔方程，

$i{\partial u \over \partial t}=-{\frac {1}{2}}{\nabla ^{2}u}$。

其色散关系为

$\omega ={\frac {1}{2}}|\mathbf {k} |^{2}$。

只考虑一维问题。经过一番运算，满足初始条件$u(x,\,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x}$的解是

$u(x,\,t)={\frac {e^{-k_{0}^{2}/4}}{\sqrt {1+2it}}}\ e^{-(x-{\frac {ik_{0}}{2}})^{2}/(1+2it)}$。

观察这波包的色散行为。取$u(x,\,t)$的绝对值，

$|u(x,\,t)|={\frac {1}{(1+4t^{2})^{1/4}}}e^{\frac {-x^{2}+2k_{0}xt}{1+4t^{2}}}$。

这色散波包传播的群速度是常数$k_{0}$。波包的宽度跟时间有关，根据公式$(1+4t^{2})^{1/2}$随着时间增加。

参阅

• 波列
• 群速度
• 相速度

参考文献

• J. D. Jackson (1975). Classical Electrodynamics (2nd Ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43132-X.
• Leonard I. Schiff (1968). Quantum mechanics (3rd ed.). London : McGraw-Hill.