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布朗筛法

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数论中,布朗筛法(Brun sieve;或称布朗纯筛法 (Brun's pure sieve))是一个用以估计满足特定条件的“筛选过的”正整数集大小的技巧,而这些条件一般都以同余表示。该筛法由维戈·布朗于1915年发展,并在后来由其他学者推广为筛法基本引理

描述

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筛法的术语中,布朗筛法是一种“组合筛法”,也就是一种透过小心应用容斥原理进行“筛选”的筛法。在正式讨论布朗筛法前,先定义一些表记:

为正整数的有限集,而则为质数的集合,然后设中可为中的质数整除的数组成的集合;此外,可设中的不同质数的乘积,在这种状况下,可相应地定义中可被整除的数的集合,也就是与的质因数相应的集合的交集;而也可相应地定义成本身。

为任意实数,那么该筛法的目标就是估计下式:

在上式中,是集合元素个数

此外,假若的元素个数可由下式估计的话(下式中,是一个积性函数,而是与之相应的误差项):

那就可定义下式:

布朗纯筛法

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以下内容取自Cojocaru & Murty页面存档备份,存于互联网档案馆)的定理6.1.2.,并使用上述的表记。

若以下条件成立:

  • 对于任意由中的质数构成的无平方因子数而言,有
  • 存在常数使得对于任意实数而言,有
  • 对于任意中的质数,有

则有以下的关系式:

其中的元素个数、是任意正整数,而则是大O符号

此外,设的最大元,那在存在足够小的使得的状况下,有下列关系式:

应用

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  • 布朗定理:所有孪生质数的倒数和收敛。
  • 施尼勒尔曼密度:所有的偶数至多个质数之和。的大小可小至6。
  • 存在有无限多个彼此差为2的整数对,而在该整数对中的两个数都至多是九个质数的乘积。
  • 所有的偶数都可表示成两个至多是九个质数乘积的数之和。

最后两个定理弱于陈氏定理弱哥德巴赫猜想

参考资料

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  • Viggo Brun. Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1915, B34 (8). 
  • Viggo Brun. La série où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie. Bulletin des Sciences Mathématiques. 1919, 43: 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01. 
  • Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. 2005: 80–112. ISBN 0-521-61275-6. 
  • George Greaves. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer-Verlag. 2001: 71–101. ISBN 3-540-41647-1. 
  • Heini Halberstam; H.E. Richert. Sieve Methods. Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. 
  • Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976. ISBN 0-521-20915-3. .