斯梅尔悖论

一 Morin曲面的俯视图

差拓扑结构中，球面外翻（Sphere eversion）是指在三维空间中，将球面从内向外翻。值得注意的是，我们有办法在不割开、撕裂或制造折痕的前提下，连续且光滑地将球面由内向外翻（有可能产生自交）。 这对非数学家甚至是了解定期同伦的人来说都十分意外，并可以被视为一种真诡论：乍看下是假，实际上为真。

更准确地说，令

$f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$

为标准嵌入，则有一个定期同伦的浸入

$f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$

使得ƒ₀ = ƒ 且 ƒ₁ = −ƒ。

历史

无折痕球面外翻的存在性证明是由史蒂芬·斯梅尔于1957年率先完成。虽然已经有一些电脑动画帮助人们想像，但很难提供这种翻转的动画片。第一个展示性的例子经过数位数学家的努力才完成，包括弗拉基米尔·阿诺尔德和盲人数学家伯纳德·莫兰。另一方面，证明这样的“翻转”存在容易多了，这就是斯梅尔证明的事。

刚开始斯梅尔的博士指导老师拉乌尔·博特告诉他这件事显然是错误的（Levy 1995）。他的推论是，映射度的高斯映射必须保存在这种“翻转”—特别地，这表示在R²没有这种S¹的翻转。但在R³中， 嵌入f 和 −f对应的高斯映射 在 R³ 都等于1，并且没有相反的符号作猜测。 所有 R³ 中S²的浸入，它对应的高斯映射映射度都是1，所以没有问题。“真悖论”也许更适合用在这个级别：在斯梅尔的工作之前，没有任何尝试论证或反正外翻 S²的纪录，所以历史上并没有关于球面外翻的纪录，只有第一次面对视觉化球面外翻的人，所留下对其精妙之处的赞扬。

进一步的一般化在h-原理。

参考文献

• Levy, Silvio, A brief history of sphere eversions, Making waves, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., 1995 [2017-06-03], ISBN 978-1-56881-049-2, MR 1357900, （原始内容存档于2017-09-09）