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普法夫约束

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动力学中的普法夫约束(Pfaffian constraint)是一种用以下形式描述系统的方式:

[1]

其中是系统限制方程的个数。

非完整系统一定可以表示为普法夫约束的形式。

推导

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假设一个用以下非完整约束英语Holonomic constraints方程组描述的非完整系统

其中n个描述系统的广义座标,而是系统约束方程的数量,可以将每一个方程用连锁律微分:

经过置换后可以得到下式:

例子

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单摆

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单摆

考虑单摆,其重物的运动会受到摆长的约束,其重物的速度向量随时都会和位置向量垂直。因为二个向量永远正交,因此其点积恒为零。重物的位置和速度可以用以下-座标系统中的系统来定义:

简化点积后可得:

将等号两边同乘,结果就是约束方程的普法夫约束形式:

普法夫形式很好用,若非完整约束方程存在,可以将普法夫形式积分来求解系统的非完整约束方程。此例中的积分是很明显的:

其中C是积分常数。

也可以写成

写成平方项只因为其必定是正数。在实际系统中,座标一定都是实数。而就是单摆的摆长。

机器人

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机器人运动规划中的普法夫约束(Pfaffian constraint),是由k个线性无关约束的集合,而这些约束都对速度线性,也就是说

轮式机器人(wheeled robot)中滚动不滑动的条件即为普法夫约束[2]

相关条目

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  1. ^ Ardema, Mark D. Analytical Dynamics: Theory and Applications. Kluwer Academic / Plenum Publishers. 2005: 57. ISBN 0-306-48681-4. 
  2. ^ Choset, H.M. Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms, and Implementation. The MIT Press. 2005. ISBN 0-262-03327-5.