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李亚普诺夫方程

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李亚普诺夫方程(英语:Lyapunov equation)是控制理论中的名词,离散李亚普诺夫方程的型式如下:

其中埃尔米特矩阵共轭转置而连续李亚普诺夫方程则是

李亚普诺夫方程应用在控制理论中的许多分支中,例如稳定性分析最优控制。李亚普诺夫方程是得名自俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫

在稳定性中的应用

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在以下的定理中,,且是对应矩阵。而的意思是指矩阵为正定矩阵

定理(连续时间版本):给定任意,存在唯一满足的充份必要条件是线性系统是全域渐近稳定。二次函数李亚普诺夫函数,可以验证系统的稳定性。

定理(离散时间版本):给定任意,存在唯一满足的充份必要条件是线性系统是全域渐近稳定。为其李亚普诺夫函数。

求解的计算层面

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有特殊的软件可以求解李亚普诺夫方程。若是离散型式,常会用Kitagawa的Schur法[1],若是连续型式,则会用Bartels和Stewart的计算法[2]

解析解

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定义(向量化)运算子是将矩阵A的所有列堆起来所形成的列向量,而克罗内克积。两种李亚普诺夫方程都可以用矩阵方程的解来表示。而且,若矩阵稳定,解也可以用积分(连续时间)或是无限项和(离散时间)来表示。

离散时间

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利用的结果,可以得到

其中可相乘英语conformable的单位矩阵[3]。可以积分或或是求解线性方程,即可以得到。再将各列重新整理,即可得到

而且,若稳定,解也可以表示为

连续时间

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再利用克罗内克积和运算子,可以得到矩阵方程

其中是将各元素取共轭得到的矩阵。

类似离散时间的情形,若稳定,解也可以表示为

.

相关条目

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参考资料

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  1. ^ Kitagawa, G. An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S. International Journal of Control. 1977, 25 (5): 745–753. doi:10.1080/00207177708922266. 
  2. ^ Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
  3. ^ Hamilton, J. Time Series Analysis. Princeton University Press. 1994. Equations 10.2.13 and 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6. 

外部链接

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