蛇引理

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同调代数中,蛇引理是构造长正合序列的关键工具,此引理在任何阿贝尔范畴中皆成立。依此构造的同态通常称作连结同态

叙述[编辑]

考虑一阿贝尔范畴(例如阿贝尔群的范畴)中的交换图

SnakeLemma01.png

使得每一横列均为正合序列。此时存在一个联系的核与上核的正合序列:

此外,若单射,则亦然;若满射,则亦然。

引蛇出洞[编辑]

为了理解蛇引理的由来,观察下图:

SnakeLemma03.png

并注意到:引理给出的正合序列可在此图中画成倒S状的蛇形。

构造连接同态[编辑]

核间的同态与上核间的同态很容易构造,它们由该图的交换性自然导出,正合性也可以直接代定义验证。重点在于连接同态及序列在该处的正合性。

对于范畴的情形,同态可如是构造:

选定,并视之为的元素;由于是满射,存在满足。由图的交换性,我们有

(因为

于是。由于底部的横列正合,存在使得。置。今须验证是明确定义的,即不依赖之选取;此外尚须验证它是个同态,及序列的正合性。

一旦完成以上几点验证,即证明了此引理在模范畴的情形。对一般情形,可利用核与上核的泛性;此外也能使用Mitchell嵌入定理,此定理断言任一阿贝尔范畴都能迁入某个环-模范畴。

函子性[编辑]

在应用上,我们常常需要长正合列的“函子性”或曰“自然性”(就自然变换意义言之);各种建构的函子性也是同调代数的基本哲学。此函子性可由蛇引理的函子性导出。

交换图

commutative diagram with exact rows

的横列均为正合,则可利用蛇引理两次,一次在“前”一次在“后”,产生两条长正合序列;它们经由以下交换图相连系:

commutative diagram with exact rows

文献[编辑]

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X