长球波函数

在数学中，长球波函数由一个限时、限频、与第二个限时的函数相乘而成。假定$Q_{T}$表示一个切截时间的运算器，且$x=Q_{T}x$，则x必为有限时间区间的函数，当x在$[-T/2;T/2]$的区间内。同理，假定$P_{W}$表示一个理想的低频滤波器，且$x=P_{W}x$，则x必为有限带宽区间的函数，当x在$[-W;W]$的区间内。透过组合上述运算子，使得$Q_{T}P_{W}Q_{T}$转变成线性、有界且自伴的运算式。对于$n=1,2,\ldots$，我们假设$\psi _{n}$为第n项的本征函数，定义下列函式

$\ Q_{T}P_{W}Q_{T}\psi _{n}=\lambda _{n}\psi _{n},$

其中$\{\lambda _{n}\}_{n}$为对应的本征值。此时限函数$\{\psi _{n}\}_{n}$即为长球波函数(PSWFs).在此领域中，几个非常重要的先驱文章由Slepian and Pollak, Landau and Pollak, and Slepian.所提出。

这些函数有些不同的意涵，当在解亥姆霍兹方程$\Delta \Phi +k^{2}\Phi =0$，透过在长球面坐标系做变数分离，使得$(\xi ,\eta ,\phi )$各代表：

$\ x=(d/2)\xi \eta ,$

$\ y=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\cos \phi ,$

$\ z=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\sin \phi ,$

$\ \xi >=1$ and $|\eta |<=1$.

得到解$\Phi (\xi ,\eta ,\phi )$为长球波函数$R_{mn}(c,\xi )$与角球波函数$S_{mn}(c,\eta )$的成积乘上$e^{im\phi }$. 这里的变数c可定义为$c=kd/2$, with $d$为长球的椭圆截面的两焦点的距离。

径向波(The radial wave function)$R_{mn}(c,\xi )$满足线性常微分方程:

$\ (\xi ^{2}-1){\frac {d^{2}R_{mn}(c,\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(c,\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}+{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}-1}}\right){R_{mn}(c,\xi )}=0$

此本征值$\lambda _{mn}(c)$在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透过设定${R_{mn}(c,\xi )}$为有限函数，当 $|\xi |\to 1_{+}$.

角波函数满足下列微分方程：

$\ (\eta ^{2}-1){\frac {d^{2}S_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {dS_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\eta ^{2}+{\frac {m^{2}}{\eta ^{2}-1}}\right){S_{mn}(c,\eta )}=0$

这跟径向波函数式为同样的微分方程。然而，这两式的变数的范围是不同的(在径向波函数中$\xi >=1$)，在角波函数中$|\eta |<=1$)。

当给定$c=0$，这两个微分方程可以简化成满足伴随勒让德多项式的式子。当给定$c\neq 0$，角波函数可被展开成勒让德级数。

注意，如果我们将角波函数写成$S_{mn}(c,\eta )=(1-\eta ^{2})^{m/2}Y_{mn}(c,\eta )$，函数$Y_{mn}(c,\eta )$将满足以下线性微分方程：

$\ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}Y_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2(m+1)\eta {\frac {dY_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}+\left(c^{2}\eta ^{2}+m(m+1)-\lambda _{mn}(c)\right){Y_{mn}(c,\eta )}=0,$

此函数为球波函数。这个辅助方程式在Stratton 1935年的文章被当作例子。

现存不少不同的球函数标准化的方法，在Abramowitz and Stegun.的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及现在的相关文章)都沿用Flammer当初提出来的符号。

一开始，球波函数是由C. Niven,提出，他在球座标上引入Helmholtz方程式。许多专题论文已经探讨出球波函数的很多面向，例如Strutt, Stratton et al., Meixner and Schafke, and Flammer.等人的作品。

Flammer提供了一个完整的讨论，计算出长球与扁球的本征值、角波函数与径函数。许多计算机程序已经因应发展出来，其中包含King与其团队, Patz和Van Buren, Baier与其团队, Zhang和Jin, Thompson,、Falloon. Van Buren和Boisvert最近发展出新的方法去计算出长球波函数，延伸了数值解的能力，能运算极广的变数范围。Fortran源代码结合了新的结果与传统的方法，可见于http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

Flammer, Hunter, Hanish et al., and Van Buren et al.等人也提出了数值解的整理表格。

NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(http://dlmf.nist.gov)是個了解球波函數的良好資源。

关于值域落在单位球的表面的长球波函数，我们通称为"Slepian functions" (另见“频谱集中问题”)。这函数存在非常多的应用，像是大地测量以及宇宙学.

外部链接

• MathWorld Spheroidal Wave functions （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• MathWorld Prolate Spheroidal Wave Function （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• MathWorld Oblate Spheroidal Wave function （页面存档备份，存于互联网档案馆）