互信息

在概率论和资讯论中，两个随机变量的互信息（mutual Information，MI）度量了两个变量之间相互依赖的程度。具体来说，对于两个随机变量，MI是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的“资讯量”（单位通常为位元）。互信息的概念与随机变量的熵紧密相关，熵是资讯论中的基本概念，它量化的是随机变量中所包含的“资讯量”。

MI不仅仅是度量实值随机变量和线性相关性(如相关系数)，它更为通用。MI决定了随机变量 ${\displaystyle (X,Y)}$ 的联合分布与 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布的乘积之间的差异。MI是点互信息（Pointwise Mutual Information（英语：pointwise mutual information），PMI）的期望。克劳德·香农在他的论文A Mathematical Theory of Communication（英语：A Mathematical Theory of Communication）中定义并分析了这个度量，但是当时他并没有将其称为“互信息”。这个词后来由罗伯特·法诺^[1]创造。互信息也称为资讯增益。

互信息的定义

设随机变量 ${\displaystyle (X,Y)}$ 是空间 ${\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}$ 中的一对随机变量。若他们的联合分布是 ${\displaystyle p(x,y)}$ ，边缘分布分别是 ${\displaystyle p(x)}$ 和 ${\displaystyle p(y)}$ ，那么，它们之间的互信息可以定义为：

{\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)\otimes p(y))}

其中， ${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }}$ 为KL散度(Kullback–Leibler divergence)。注意，根据KL散度的性质，若联合分布 $p(x,y)$ 等于边缘分布 $p(x)$ 和 $p(y)$ 的乘积，则 $I(X;Y)=0$ ，即当 $X$ 和 $Y$ 相互独立的时候，观测到Y对于我们预测X没有任何帮助，此时他们的互信息为0。

离散变量的互信息

离散随机变量 X 和 Y 的互信息可以计算为：

I(X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)},\,\!

其中 p(x, y) 是 X 和 Y 的联合概率质量函数，而 $p(x)$ 和 $p(y)$ 分别是 X 和 Y 的边缘概率质量函数。

连续变量的互信息

在连续随机变量的情形下，求和被替换成了二重定积分：

I(X;Y)=\int _{Y}\int _{X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}\;dx\,dy,

其中 p(x, y) 当前是 X 和 Y 的联合概率密度函数，而 $p(x)$ 和 $p(y)$ 分别是 X 和 Y 的边缘概率密度函数。

如果对数以 2 为基底，互信息的单位是bit。

直观上，互信息度量 X 和 Y 共享的资讯：它度量知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互独立，则知道 X 不对 Y 提供任何资讯，反之亦然，所以它们的互信息为零。在另一个极端，如果 X 是 Y 的一个确定性函数，且 Y 也是 X 的一个确定性函数，那么传递的所有资讯被 X 和 Y 共享：知道 X 决定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与 Y（或 X）单独包含的不确定度相同，称作 Y（或 X）的熵。而且，这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。（这种情形的一个非常特殊的情况是当 X 和 Y 为相同随机变量时。）

互信息是 X 和 Y 的联合分布相对于假定 X 和 Y 独立情况下的联合分布之间的内在依赖性。于是互信息以下面方式度量依赖性：I(X; Y) = 0 当且仅当 X 和 Y 为独立随机变量。从一个方向很容易看出：当 X 和 Y 独立时，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：

\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}=\log 1=0.\,\!

此外，互信息是非负的（即 $I(X;Y)\geq 0$ ; 见下文），而且是对称的（即 $I(X;Y)=I(Y;X)$ ）。

与其他量的关系

互信息又可以等价地表示成

{\begin{aligned}I(X;Y)&{}=H(X)-H(X|Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X)\\&{}=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\&{}=H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)\end{aligned}}

其中 $\ H(X)$ 和 $\ H(Y)$ 是边缘熵，H(X|Y) 和 H(Y|X) 是条件熵，而 H(X,Y) 是 X 和 Y 的联合熵。注意到这组关系和并集、差集和交集的关系类似，于是用Venn图表示。

在互信息定义的基础上使用琴生不等式，我们可以证明 I(X;Y) 是非负的，因此 $\ H(X)\geq H(X|Y)$ 。这里我们给出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的详细推导:

{\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}}\\&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)}}-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x,y}p(x)p(y|x)\log p(y|x)-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x}p(x)\left(\sum _{y}p(y|x)\log p(y|x)\right)-\sum _{y}\log p(y)\left(\sum _{x}p(x,y)\right)\\&{}=-\sum _{x}p(x)H(Y|X=x)-\sum _{y}\log p(y)p(y)\\&{}=-H(Y|X)+H(Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X).\\\end{aligned}}

上面其他性质的证明类似。

直观地说，如果把熵 H(Y) 看作一个随机变量于不确定度的量度，那么 H(Y|X) 就是"在已知 X 事件后Y事件会发生"的不确定度。于是第一个等式的右边就可以读作“将"Y事件的不确定度"，减去 --- "在基于X事件后Y事件因此发生的不确定度"”。

这证实了互信息的直观意义为: "因X而有Y事件"的熵( 基于已知随机变量的不确定性) 在"Y事件"的熵之中具有多少影响地位( "Y事件所具有的不确定性" 其中包含了多少 "Y|X事件所具有的不确性" )，意即"Y具有的不确定性"有多少程度是起因于X事件;

    舉例來說，當 I(X;Y) = 0時，也就是 H(Y) = H(Y|X)時，即代表此時 "Y的不確定性" 即為 "Y|X的不確定性"，這說明了互信息的具體意義是在度量兩個事件彼此之間的關聯性。

所以具体的解释就是: 互信息越小，两个来自不同事件空间的随机变量彼此之间的关系性越低; 互信息越高，关系性则越高。

注意到离散情形 H(X|X) = 0，于是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y)，我们可以制定”一个变量至少包含其他任何变量可以提供的与它有关的资讯“的基本原理。

互信息也可以表示为两个随机变量的边缘分布 X 和 Y 的乘积 p(x) × p(y) 相对于随机变量的联合熵 p(x,y) 的相对熵：

I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)p(y)).

此外，令 p(x|y) = p(x, y) / p(y)。则

{\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{y}p(y)\sum _{x}p(x|y)\log _{2}{\frac {p(x|y)}{p(x)}}\\&{}=\sum _{y}p(y)\;D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\\&{}=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\}.\end{aligned}}

注意到，这里相对熵涉及到仅对随机变量 X 积分，表达式 $D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))$ 现在以 Y 为变量。于是互信息也可以理解为相对熵 X 的单变量分布 p(x) 相对于给定 Y 时 X 的条件分布 p(x|y) ：分布 p(x|y) 和 p(x) 之间的平均差异越大，资讯增益越大。

连续互信息的量化

对连续型随机变量量化的定义如下：

$f(x_{i})\Delta =\int _{i\Delta }^{(i+1)\Delta }f(x)dx=p_{i}$

量化后的随机变量 $X^{\Delta }$ :

$X^{\Delta }=x_{i},i\Delta \leq X<(i+1)\Delta$ 。

则,

$I(X^{\Delta };Y^{\Delta })=H(X^{\Delta })-H(X^{\Delta }|Y^{\Delta })$

$\approx h(X)-log{\Delta }-(h(X|Y)-log{\Delta })$

$=I(X;Y)$

广义而言，我们可以将互信息定义在有限多个连续随机变量值域的划分。

令 $\chi$ 为连续型随机变量的值域， $P_{i}\in P$ , 其中 $P$ 为 $\chi$ 划分所构成的集合，意即 $\cup _{i}P_{i}=\chi$ 。

以 $P$ 量化连续型随机变量 $X$ 后，所得结果为离散型随机变量,

$Pr([X]_{P}=i)=\int _{P_{i}}dF(x)$ 。

对于两连续型随机变量X、Y，其划分分别为P、Q，则其互信息可表示为：

$I(X;Y)={\underset {P,Q}{sup}}I([X]_{P};[Y]_{Q})$ 。

参见

点间互信息（英语：Pointwise mutual information）
量子互信息（英语：Quantum mutual information）

注释

^ Kreer, J. G. A question of terminology. IRE Transactions on Information Theory. 1957, 3 (3): 208. doi:10.1109/TIT.1957.1057418.

参考文献

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[1] Kreer, J. G. A question of terminology. IRE Transactions on Information Theory. 1957, 3 (3): 208. doi:10.1109/TIT.1957.1057418.

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