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延伸原理

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延伸原理非標準分析中的基本原理之一。

延伸原理

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  1. 實數集超實數集的一個子集實數中的序關係x<y是超實數中序關係的一個子集。
  2. 存在一個超實數大於而小於一切正實數
  3. 對於每一個實函數f,可以給出一個與之對應的、變量數量相等的超實數函數f*,f*叫做f的自然延伸

解釋

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第一條:實數是超實數的一部分。

第二條:至少有一個正無窮小(實際上有無窮多個正無窮小)。無窮小(非零)不是實數而是一個超實數。第二條保證了不是實數的超實數的存在。

第三條:允許實函數在超實數中的應用。例如多元函數「+」(加法)可以自然地推廣到超實數變為超實數中的加法「+*」, 我們便可以定義加法的自然延伸為超實數的。同理,減法乘法除法都可以這樣定義。但為了簡便起見,通常在不引起誤會的情況下略去上標(「*」)。


其他的函數例如指數函數對數函數三角函數都可以通過自然延伸推廣到超實數中。

參考資料

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  1. H. Jerome Keisler: Elementary calculus: An Approach Using Infinitesimals. 1976第一版,1986年第二版。已絕版。出版商己把著作權還於作者。作者提供了第二版的pdf 格式: http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html頁面存檔備份,存於網際網路檔案館