沉音列

沉音列（subharmonic series，英文別稱undertone series），在音樂中，指音程關係與泛音列成倒影的一系列音。樂器發出聲音的物理過程會自然地產生泛音列，而沉音列必須由特殊方法產生。泛音列是將頻率加倍得來，而沉音列則需算出頻率的約數。^[1] Subharmonic一詞最純粹的含義，僅指次調和級數（1，1/2，1/3，1/4等）的項。當指頻率關係時，f表示某個參照的最高頻率（f，f/2，f/3，f/4等）。由此，沉音列的一種定義就是「基頻（驅動音）的整約數」 ^[2]聲學樂器的複合音色無法產生沉音列的諧波，但是，它可以由軟體和電子手段人工產生。沉音列與泛音列相反，泛音列「…可以在任何非線性系統中產生」，而「沉音列這種非線性現象的產生」只能存在於一些「十分受限的條件下」。 ^[2]

產生沉音列的方法

生成沉音列，有兩種物理方法：一種是管樂器的超吹，另一種是分割測弦器的弦。在一根弦的中點，及分別在1/3處、1/4、1/5處輕輕制音，該弦可以得到泛音列，其中包括一個大三和弦。而若以相反的比例為弦長加倍，則產生沉音列。在管樂器上類似，如果若干音孔之間是等距的，則每多按住一個音孔，就產生下一個沉音。此外，如音叉這樣的振子也能產生沉音列。令振子輕輕帶動一張紙振動，則「振子與紙接觸會天然形成某種反覆模式，可被聽到」 ^[3]。音叉產生正弦音，所以正常情況下以基頻振動（例如440Hz），但它會「暫時地」每隔一次振動發生一次接觸（220Hz），或每三次振動發生一次接觸（147Hz），等等，這就產生了能聽到的「沉音頻譜」（例如，1:1得到A4（440Hz）、1:2得A3（220Hz）、1:3得D3（147Hz）、1:4得A2（110Hz）、1:5得F2（88Hz）等）。José Sotorrio聲稱，可以用正弦波發生器連接揚聲器與一個彈性表面接觸，或在弦樂器上「用特殊技巧操控弓子」，來使這些「沉音頻譜」延續發聲；但很難發出「下八度或下十二度」以後的沉音。琴弦呈Y字排列的吉他——[曲他]（tritare）也可以產生沉音。一些爵士吉他手開發出交叉兩根弦的特殊技巧，可以得到沉音。揚聲器放大信號時可以得到沉音。^[4]

與泛音列對比

沉音列的頻率是基頻的1/n倍，其中n是正整數。例如，如果基頻是440Hz，那麼沉音就有220 Hz (1/2)、約146.6 Hz (1/3)和110 Hz (1/4)。故而沉音列是泛音列的倒影。

沉音列中的音

泛音列中，若以C為基音，那麼前5個泛音是：C（高一八度）、G（比前一音再高純五度）、C（比前一音高純四度）、E（比前一音高大三度）、G（比前一音高小三度）。沉音列中也出現同樣的格局。我們同樣以C作為基頻，前5個沉音是：C（低一八度）、F（比前一音再低純五度）、C（比前一音低純四度）、?A（比前一音低大三度）、F（比前一音低小三度）。

沉音					十二平均律音程	音名	音差（音分）	音頻
1	2	4	8	16	同度（八度）	C	0	播放^ⓘ
				17	大七度	B	−5	播放^ⓘ
			9	18	小七度	A♯, B♭	−4	播放^ⓘ
				19	大六度	A	+2	播放^ⓘ
		5	10	20	小六度	G♯, A♭	+14	播放^ⓘ
				21	五度	G	+29	播放^ⓘ
			11	22	三全音	F♯, G♭	+49	播放^ⓘ
				23	三全音	F♯, G♭	−28	播放^ⓘ
	3	6	12	24	四度	F	−2	播放^ⓘ
				25	大三度	E	+27	播放^ⓘ
			13	26	大三度	E	−41	播放^ⓘ
				27	小三度	D♯, E♭	−6	播放^ⓘ
		7	14	28	大二度	D	+31	播放^ⓘ
				29	大二度	D	−30	播放^ⓘ
			15	30	小二度	C♯, D♭	+12	播放^ⓘ
				31	小二度	C♯, D♭	−45	播放^ⓘ

三和弦

對比兩個音列的前5個音，可得：

泛音列：C C G C E G
沉音列：C C F C ♭A F

C的沉音列中包含F小三和弦。Elizabeth Godley認為，沉音列中也蘊含著小三和弦，且在聲學中也是自然產生的。^[6] 「根據該理論，小三和弦的五音——而不是根音，才是生成整個和弦的『生成音』」。 ^[7]大三和弦由生成音及其上方的大三度、純五度音構成，而小三和弦則由生成音及其下方的大三度、純五度音構成。^[7]

共振

亥姆霍茲在《論音的感覺》中觀察到，鋼琴上的C弦在其沉音（c、F、C、降A、F、D、C等）發聲時，比泛音發聲時改變更大。亥姆霍茲論證說，沉音的共振並不比泛音弱。^[8] 考威爾在《新音樂資源》（p. 21-23）中提到了一位「莫斯科音樂學研究所的Nicolas Garbusov教授」，他發明了一種「在不藉助共鳴的情況下至少能聽到前9次沉音」的裝置。他將這種現象描述為在樂器的共鳴中出現：「原本的發聲體發不出沉音，但難免會在共鳴中出現通常共鳴體會響應每一次振動但某些情況下這些共鳴體每隔一次振動響應一次，發出半頻音甚至某些情況下每隔三次共振一次音樂中這樣的沉音經常是能聽到的，這對於理解下屬功能、小三和弦這些關係很重要。」

作曲上的意義

沉音列首先由扎利諾在Instituzione armoniche（1558）中提出，並被里曼和丹第等理論家用來解釋小和弦等泛音列無法解釋的現象。^[1]然而，亨德米特認為沉音列純粹是泛音列在理論上的「音程倒影」。這一論斷的根據是，沉音不像泛音那樣隨著基音鳴響而鳴響。^[9] 另一方面，Harry Partch反駁道，泛音列和沉音列同樣都是根本性的，他的陽調性和陰調性理論就是基於這種認識。^[10]類似地，Graham H. Jackson在他的《音樂和聲的精神基礎》（2006）一書中^[11]聲稱，泛音列和沉音列必須視作實實在在的兩極，一個代表外部的「物質世界」，另一個代表主觀的「內在世界」。這種觀點很大程度上源自這樣的事實：泛音列可以有科學的物質性解釋，所以才被廣為接受；而沉音列的主要爭議是，它只能由主觀經驗得到。例如，小三度聽上去經常被認為是悲傷的，起碼也是沉思的，因為人類聽所有的和弦都從下往上理解。如果情感是依據沉音列頂端的「基音」而來，那麼一個下行的小三和弦就不是憂傷的，而是有一種征服感。相比之下，泛音列就像從外部刺進來。在Rudolf Steiner的著作影響下，Jackson追溯包括這兩個音列在內的主要五度相生音階的歷史，並認為，巴赫作品的和聲隱蔽地抵消了沉音列。 Kathleen Schlesinger在她1939年的"The Greek Aulos"一書中指出，希臘的阿夫洛斯管上的音孔是等距的，所以必然會吹出沉音列。她稱這一發現不僅揭曉了希臘調式的諸多謎團，也說明了全世界許多古代調式體系應該都是基於這一原理的。 1868年，Adolf von Thimus表明，由1世紀的一位畢達哥拉斯學派學者Nicomachus of Gerasa提出、被4世紀的楊布里科斯繼承，並最終由von Thimus本人解出的一個理論，揭示了畢達哥拉斯就已得出了一整頁的調和-次調和交錯級數。^[12]

參見

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Nattiez, Jean-Jacques (1990) [1987]. Music and Discourse: Toward a Semiology of Music (Musicologie générale et sémiologue). Translated by Carolyn Abbate (1990). Princeton, N.J.: Princeton University Press. p. 202. ISBN 0-691-02714-5. Undertone series shown on E.
^ ^2.0 ^2.1 Dallos, Peter. The Auditory Periphery Biophysics and Physiology. Elsevier. 2012: 2012.
^ Sotorrio, José A (2002). Tone Spectra -and the Natural Elements of Music. (1st Ed) Spectral Music, 2002.
^ Truax, Barry (編). Handbook for Acoustic Ecology. World Soundscape Project, Simon Fraser University. 1999 [2019-04-08]. （原始內容存檔於2018-08-02）.
^ Rehding, Alexander (2003). Hugo Riemann and the Birth of Modern Musical Thought, p.16. ISBN 978-0-521-82073-8給出高達9次諧音，但沒有標出數字。
^ Godley, Elizabeth. The Minor Triad. Music & Letters (Oxford University Press). 1952, 33 (4): 285?95. ISSN 1477-4631. JSTOR 729740. doi:10.1093/ml/XXXIII.4.285.
^ ^7.0 ^7.1 (1893). "Russian Folk-Songs", Music （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: a monthly magazine, devoted to the art, science, technic and literature of music, Volume 4, p.131. W.S.B. Mathews.
^ Hermann von Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications. 1954: 47. ISBN 978-0-486-60753-5.
^ Hindemith, Paul. The Craft of Musical Composition. 由Authur Mendel翻譯 revised. New York: Associated Music Publishers. 1945: 78 [1937]. ISBN 0-901938-30-0. It seems to me repugnant to good sense to assume a force capable of producing such an inversion. ... [The undertone series] can never have for music the same significance as the overtone series. ... This "undertone series" has no influence on the color of the tone, and lacks the other natural advantages of the overtone series...
^ Partch, Harry. Genesis of a Music second. New York: Da Capo Press. 1974: 89 [1949]. ISBN 0-306-80106-X. Under-number tonality, or Utonality ("minor"), is the immutable faculty of ratios, which in turn represent an immutable faculty of the human ear.
^ Graham H. Jackson, The Spiritual Basis of Musical Harmony, George A. Vanderburgh, Shelburne, ON, Canada, 2006, 196 pp.
^ Adolf von Thimus: Die Harmonikale Symbolik des Altertums, Verlag der M. DuMont-Schaubergischen Buchhandlung, K?ln, 1868

深入閱讀

Gurewitsch, Matthew. For a Violinist, Success Means a New Low Point. The New York Times. May 13, 2011 [January 23, 2012].

外部連結

Website of Mari Kimura with audio clips （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Article on Mari Kimura （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[Nattiez-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Nattiez, Jean-Jacques (1990) [1987]. Music and Discourse: Toward a Semiology of Music (Musicologie générale et sémiologue). Translated by Carolyn Abbate (1990). Princeton, N.J.: Princeton University Press. p. 202. ISBN 0-691-02714-5. Undertone series shown on E.

[Dallos-2] 2.0 ^2.1 Dallos, Peter. The Auditory Periphery Biophysics and Physiology. Elsevier. 2012: 2012.

[Sotorrio-3] Sotorrio, José A (2002). Tone Spectra -and the Natural Elements of Music. (1st Ed) Spectral Music, 2002.

[speaker-4] Truax, Barry (編). Handbook for Acoustic Ecology. World Soundscape Project, Simon Fraser University. 1999 [2019-04-08]. （原始內容存檔於2018-08-02）.

[5] Rehding, Alexander (2003). Hugo Riemann and the Birth of Modern Musical Thought, p.16. ISBN 978-0-521-82073-8給出高達9次諧音，但沒有標出數字。

[6] Godley, Elizabeth. The Minor Triad. Music & Letters (Oxford University Press). 1952, 33 (4): 285?95. ISSN 1477-4631. JSTOR 729740. doi:10.1093/ml/XXXIII.4.285.

[Music-7] 7.0 ^7.1 (1893). "Russian Folk-Songs", Music （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: a monthly magazine, devoted to the art, science, technic and literature of music, Volume 4, p.131. W.S.B. Mathews.

[8] Hermann von Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications. 1954: 47. ISBN 978-0-486-60753-5.

[9] Hindemith, Paul. The Craft of Musical Composition. 由Authur Mendel翻譯 revised. New York: Associated Music Publishers. 1945: 78 [1937]. ISBN 0-901938-30-0. It seems to me repugnant to good sense to assume a force capable of producing such an inversion. ... [The undertone series] can never have for music the same significance as the overtone series. ... This "undertone series" has no influence on the color of the tone, and lacks the other natural advantages of the overtone series...

[10] Partch, Harry. Genesis of a Music second. New York: Da Capo Press. 1974: 89 [1949]. ISBN 0-306-80106-X. Under-number tonality, or Utonality ("minor"), is the immutable faculty of ratios, which in turn represent an immutable faculty of the human ear.

[11] Graham H. Jackson, The Spiritual Basis of Musical Harmony, George A. Vanderburgh, Shelburne, ON, Canada, 2006, 196 pp.

[12] Adolf von Thimus: Die Harmonikale Symbolik des Altertums, Verlag der M. DuMont-Schaubergischen Buchhandlung, K?ln, 1868

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