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理想類群

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理想類群(英語:Ideal class group)是代數數論的基本對象之一,簡稱類群

一個代數數域K的理想類群是形如 JK /PK商群; 此處JK 是代數數域K整數環的所有分式理想構成的; 而PK是這個群的子群,包含所有可以被一個元素生成的分式理想(類似主理想的定義)。
理想類群在一定程度上可以測量K整數環算術基本定理(唯一分解)被破壞程度: 只有當理想類群的秩為1時,代數數域K整數環才是唯一分解整環。理想類群的秩又被稱作為代數數域的「類數」。

形式定義

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戴德金整環。此時 中的非零理想對乘法構成一個交換么半群

今將定義其上的等價關係:設 為二非零理想,定義

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 ,稱為 的理想類群。

另一套進路是考慮 的非零分式理想構成之交換群,再考慮它對主分式理想 之商,由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質

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  • 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環
  • 為數域, 為其中的代數整數環,因而是戴德金整環。此時可證明 是有限群。其元素個數記為 ,稱作類數。

例子

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考慮二次域 。考慮理想

易證此非主理想,因此理想類群非零。事實上,其理想類群是二階循環群