0的0次方

0的0次方（英語：Zero to the power of zero），寫作 $0^{0}$ ，是極限的不定式之一，在排列組合以及群論中，常用的慣例是定義為1^{[註 1]}，在微積分中則通常沒有定義，因為極限 $\lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}$ 不存在。而在不同的電腦程式語言中， $0^{0}$ 的表達式也並不相同；如C++將 $0^{0}$ 定義為1。

離散指數

許多涉及自然數指數的常用公式中必須將 $0^{0}$ 定義為1；例如，下列三個關於 $b^{0}$ 的解釋使b=0的意義與正整數b相同：

將 $b^{0}$ 解釋為空乘積
將 $b^{0}$ 組合解釋為b元素集合中元素 0 元組的數量；而集合中正好有一個0元組
將 $b^{0}$ 的集合論解釋為從空集合到 b 元素集合的函數數量；這樣的函數只有一個，就是空函數。

以上三種解釋均得出 $b^{0}$ =1。

定義的需求

微分式： ${\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}$ 在x=0，n=1的時候將無法作用，除非 $0^{0}=1$ ，另外，如果不定義 $0^{0}$ ，就無法處理二項式定理 $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$ ，因為 $0^{0}=(1-1)^{0}={\binom {0}{0}}1^{0}(-1)^{0}=1$ 。