B樣條

在數學的子學科數值分析裡，B-樣條是樣條曲線一種特殊的表示形式。它是B-樣條基曲線的線性組合。B-樣條是貝茲曲線的一種一般化，可以進一步推廣為非均勻有理B樣條（NURBS），使得我們能給更多一般的幾何體建造精確的模型。

De Boor算法是一個數值上穩定的計算B樣條的方法。

術語 B樣條是Isaac Jacob Schoenberg創造的，B 是基（basis）樣條的縮略。

定義

給定m+1 個節點t_i ，分布在[0,1]區間，滿足

$t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{m}$

一個n次B樣條是一個參數曲線：

$\mathbf {S} :[0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$

它由n次B樣條基(basis B-spline)組成

$\mathbf {S} (t)=\sum _{i=0}^{m}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]$.

P_i稱為控制點或de Boor點. m+1個n次B樣條基可以用Cox-de Boor遞歸公式 定義

$b_{j,0}(t):=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {} \quad t_{j}<t<t_{j+1}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.$

$b_{j,n}(t):={\frac {t-t_{j}}{t_{j+n}-t_{j}}}b_{j,n-1}(t)+{\frac {t_{j+n+1}-t}{t_{j+n+1}-t_{j+1}}}b_{j+1,n-1}(t).$

當節點等距，稱B樣條為均勻(uniform)否則為非均勻(non-uniform)。

均勻B樣條曲線

當B樣條是均勻的時候，對於給定的n，每個B樣條基是其他基的平移拷貝而已。一個可以作為替代的非遞歸定義是

$b_{j,n}(t):=b_{n}(t+n-j)\qquad {\mbox{ , }}j=-1,\ldots m+1$

滿足

$b_{n}(t):=(m+1)\sum _{i=0}^{m+1}\omega _{i}(t_{i}-t)_{+}^{m}\qquad {\mbox{ , }}t\in [0,1]$

滿足

$\omega _{i}:=\prod _{j=0,i\neq j}^{m+1}{\frac {1}{t_{i}-t_{k}}}$

其中

$(t_{i}-t)_{+}$

是截斷冪函數（truncated power function）

註解

當節點數和多項式次數相等時，B樣條退化為貝茲曲線。即函數的形狀由節點的位置決定。縮放或者平移節點向量不會改變基函數。

樣條包含在它的控制點的凸包中

n次B樣條的一個基

$b_{i,n}(t)$

僅當在區間[t_i, t_i+n+1]上非0。就是

$b_{i,n}(t)=\left\{{\begin{matrix}>0&\mathrm {} \quad t_{i}\leq t<t_{i+n+1}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.$

換句話說，如果我們操作一個控制點，我們只改變曲線在局部的行為，而不像Bezier曲線那樣是全局行為。

例子

常數B樣條

常數B樣條是最簡單的樣條。只定義在一個節點距離上，而且不是節點的函數。它只是不同節點段（knot span）的指示函數。

$b_{j,0}(t)=1_{[t_{j},t_{j+1})}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {} \quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.$

線性B樣條

線性B樣條定義在兩個相鄰的節點段上，在節點連續但不可微。

$b_{j,1}(t)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {t-t_{j}}{t_{j+1}-t_{j}}}&\mathrm {if} \quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\{\frac {t_{j+2}-t}{t_{j+2}-t_{j+1}}}&\mathrm {} \quad t_{j+1}\leq t<t_{j+2}\\0&\mathrm {...} \end{matrix}}\right.$

三次B樣條

一個片斷上的B樣條的表達式可以寫作：

$S_{i}(t)=\sum _{k=0}^{3}\mathbf {P} _{i-3+k}b_{i-3+k,3}(t)\qquad {\mbox{ , }}t\in [0,1]$

其中S_i是第i個B樣條片斷而P是一個控制點集，i和k是局部控制點索引。控制點的集合會是$P_{i}^{w}=(w_{i}x_{i},w_{i}y_{i},w_{i}z_{i},w_{i})$的集合，其中$w_{i}$是比重，當它增加時曲線會被拉向控制點$P_{i}$，在減小時則把曲線遠離該點。

片段的整個集合m-2條曲線（$S_{3},S_{4},...,S_{m}$）由m+1個控制點（$P_{0},P_{1},...,P_{m},m\geq 3$）定義，作為t上的一個B樣條可以定義為

$S(t)=\sum _{i=0}^{m}\mathbf {P} _{i}b_{i,}(t)$

其中i是控制點數，t是取節點值的全局參數。這個表達式把B樣條表示為B樣條基函數的線性組合，這也是這個名稱的原因。

有兩類B樣條-均勻和非均勻。非均勻B樣條相鄰控制點間的距離不一定要相等。一個一般的形式是區間隨著插入控制點逐步變小到0。

B樣條的程式指令

Matlab

In Matlab，the command「spline」 can be used for spline interpolation.

(Note： In the command, the cubic B-spline is used)

Cubic B-Spline Interpolation by Matlab

Generating a sine-like spline curve and samples it over a finer mesh:

x = 0:1:10; % original sampling points

y = sin(x);

xx = 0:0.1:10; % new sampling points

yy = spline(x,y,xx);

plot(x,y,'o',xx,yy)

Python

事前安裝模組

• pip install numpy
• pip install scipy
• pip install matplotlib

Cubic B-Spline Interpolation by Python

from scipy.interpolate import interp1d

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

x = np.arange(0, 11) # original sample points, [0, 1, 2, …, 9, 10]

y = np.sin(x)

f = interp1d(x, y, kind=' cubic ') ) # Cubic means the cubic B-spline.

x_new = np.arange(0, 10.1, 0.1) # new sample points, [0, 0.1, 0.2, ….., 9.9, 10]

y_new = f(x_new)

plt.plot(x,y,'o',x_new, y_new)

plt.show()

B樣條曲線及曲面相關算法

關於此處涉及的算法，在著作中有針對Bézier、B樣條（B-spline）以及非均勻有理B樣條（Nurbs）的相關算法的詳細數學表達和程序實現方法。

求導

在幾何處理中，對參數曲線及曲面的求導是最基本的運算之一，由於參數表達的特性，在給定點的切線及法線可通過求導直接得到。 先來考察曲線的情形：採用本頁定義中的B樣條曲線表達式 $\mathbf {S} (t)=\sum _{i=0}^{m}\mathbf {P} _{i}b_{i,n}(t){\mbox{ , }}t\in [0,1]$ 對參數$t$進行求導： ${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\sum _{i=0}^{m}b'_{i,n}(t)\mathbf {P} _{i}$

參看

• 樣條
• De Boor算法
• 非均勻有理B樣條

參考

本條目部分或全部內容出自以GFDL授權發佈的《自由線上電腦詞典》（FOLDOC）。

參考文獻

• Jian-Jiun Ding, 「Time Frequency Analysis and Wavelet Transforms 」, NTU, 2021.

外部連結

• Interactive java applets for B-splines（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Introduction to Computing with Geometry Notes (Dr.C.-K.Shene/Michigan Technological University)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）