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向量空间的维数定理

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數學分支線性代數中,向量空間的維數定理表明,向量空間的任意一組,都具有相同數量的元素。基的大小可能有限,也可能無窮(此時其大小為基數)。基的大小定義為向量空間的維數[1]

形式上,向量空間的維數定理指出:

V為向量空間,為兩組基,則兩者等勢,即元素個數

由於基是線性獨立生成集,上述定理可由以下定理推出:

在一個向量空間V中,如果G是生成集,I是線性獨立集,那麼I的基數不大於G的基數。

特別地,如果V有限生成,則每一組皆為有限,並且具有相同數量的元素[2]。在一般情況下,證明「任何向量空間都包含一組基」需要佐恩引理,並且實際上等價於選擇公理[來源請求],但證明「基的大小唯一」只需要布尔素理想定理[3]

參考資料

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  1. ^ Lang, Serge. Algebra. GTM 211 Revised Third Edition. Springer. 2002: 140–141. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0 (英语). 
  2. ^ Howard, P., Rubin, J.: "Consequences of the axiom of choice" - Mathematical Surveys and Monographs, vol 59 (1998) ISSN 0076-5376.
  3. ^ Halpern, James D. Bases in vector spaces and the axiom of choice. Proceedings of the American Mathematical Society. 1966, 17: 670–673 [2023-03-24]. JSTOR 2035388. MR 0194340. doi:10.2307/2035388. (原始内容存档于2023-04-11) (英语).