循环数

循环数（英語：cyclic number），是一类特殊的整数，其包含的各个数字的循环排列恰为该数的连续倍数 ; 一個n位的循环数的性質是它乘以1至n都是各个数字的循环排列 , 乘以(n+1)會出現純位數 , 純位數每個位都是9。例如，最知名的循环数是142857：

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

乘以7出現純位數

142857 × 7 = 999999

另一例子為(0)588235294117647

588235294117647 × 1 = 588235294117647

588235294117647 × 2 = 1176470588235294

588235294117647 × 3 = 1764705882352941

588235294117647 × 4 = 2352941176470588

588235294117647 × 5 = 2941176470588235

588235294117647 × 6 = 3529411764705882

588235294117647 × 7 = 4117647058823529

588235294117647 × 8 = 4705882352941176

588235294117647 × 9 = 5294117647058823

588235294117647 × 10 = 5882352941176470

588235294117647 × 11 = 6470588235294117

588235294117647 × 12 = 7058823529411764

588235294117647 × 13 = 7647058823529411

588235294117647 × 14 = 8235294117647058

588235294117647 × 15 = 8823529411764705

588235294117647 × 16 = 9411764705882352

乘以17出現純位數

588235294117647 * 17 = 9999999999999999

长度为L的循环数可以表示为单位分数${\frac {1}{L+1}}$小数表示形式的循环部分。反过来，如果${\frac {1}{p}}$（其中p为質数）的循环长度为p-1（这样的質数p称为全循环質数），那么其循环部分表示的就是一个循环数。例如： ${1 \over 7}=0.{\overline {142857}}$

其不同倍数的循环部分则是该循环数的循环排列：

${1 \over 7}=0.{\overline {142857}}$

${2 \over 7}=0.{\overline {285714}}$

${3 \over 7}=0.{\overline {428571}}$

${4 \over 7}=0.{\overline {571428}}$

${5 \over 7}=0.{\overline {714285}}$

${6 \over 7}=0.{\overline {857142}}$

參見

• 全循環質數