常层

数学中，拓扑空间X上与集合A相关联的常层（constant sheaf）是X上的集合层，其茎全部等于A，记作 ${\underline {A}}$ 或 $A_{X}$ 。值为A的常预层（constant presheaf）是为X的每个开子集赋A值的预层，其所有限制映射都是恒等映射 $A\to A$ 。关联于A的常层是关联于A的常预层的层化。这个层等同于X上局部常的A-值函数的层。^[1]

有时，集合A可换成某范畴 ${\textbf {C}}$ 中的对象A（如 ${\textbf {C}}$ 是阿贝尔群范畴或交换环范畴）。

阿贝尔群的常层会作为系数出现于层上同调。

基本情形

设X为拓扑空间，A为集合。常层 ${\underline {A}}$ 在开集U上的截面可解释为连续函数 $U\to A$ ，其中A具有离散拓扑。若U连通，则这些局部常函数就是常的。若 $f:X\to \{{\text{pt}}\}$ 是到单点空间的唯一映射，A被视作 $\{{\text{pt}}\}$ 上的层，则逆像 $f^{-1}A$ 是X上的常层 ${\underline {A}}$ 。 ${\underline {A}}$ 的层空间是射影映射A（其中 $X\times A\to X$ 被赋予离散拓扑）。

详细例子

设X是两点p、q组成的拓扑空间，具有离散拓扑。X有4个开集： $\varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}$ 。图中显示了X的开集的5个非平凡包含。 X上的预层为X的每个开集选择一个集合，并为9个包含（5个非平凡，4个平凡）的每个选择一个限制映射。值为 ${\textbf {Z}}$ 的常预层（将表为F）选择4个集合均为 ${\textbf {Z}}$ （整数集）、选择9个限制映射均为恒等映射。F是函子，因此也是预层，因为它是常的；其满足胶合公理，但不是层，因为在空集上局部恒等公理失效——空集被空集族覆盖：空集上F的任意两截面限制到空集族的任何集合都相等。因此，局部恒等公理意味着F在空集上的任意两截面都相等，但实际上并非如此。

类似地，在空集上满足局部恒等公理的预层G的构造如下。设 $G(\varnothing )=0$ ，其中0是单元集。在非空集合上，为G赋值 ${\textbf {Z}}$ 。对开集的每个包含，若较小的集合是空的，则G返回到0的唯一映射；否则，返回 ${\textbf {Z}}$ 上的恒等映射。

注意：由于空集的局部恒等公理，所有涉及空集的限制映射都是无趣的。这适用于任何满足空集局部恒等公理的预层，尤其适用于任何层。 G是分离预层（即满足局部恒等公理），但不满足胶合公理，这与F不同。 $\{p,q\}$ 被两开集 $\{p\},\ \{q\}$ 覆盖，交为空。 $\{p\}$ 或 $\{q\}$ 上的截面是 ${\textbf {Z}}$ 的元素，即是一个数。选择 $\{p\}$ 上的截面m、 $\{q\}$ 上的截面n，假定 $m\neq n$ ；由于m、n在 $\varnothing$ 上限制于同一个元素0，胶合公理要求在 $G(\{p,q\})$ 上存在唯一截面s，其在 $\{p\}$ 上限制到m，在 $\{q\}$ 上限制到n。但由于 $\{p,q\}$ 到 $\{p\}$ 的限制映射是恒等映设，所以 $s=m,\ s=n$ ，于是有 $m=n$ ，自相矛盾。

$G(\{p,q\})$ 太小了，无法同时携带 $\{p\}$ 、 $\{q\}$ 的信息。设 $H(\{p,q\})=\mathbf {Z} \otimes \mathbf {Z}$ ，就可以将其放大以满足胶合公理。令 $\pi _{1}$ 、 $\pi _{2}$ 为两射影映射 $\mathbf {Z} \otimes \mathbf {Z} \to \mathbf {Z}$ ；定义 $H(\{p\})={\text{im}}(\pi _{1})=\mathbf {Z}$ ， $H(\{q\})={\text{im}}(\pi _{2})=\mathbf {Z}$ 。对剩下的开集和包含，令 $H=G$ 。H是X上的常层，值为 ${\textbf {Z}}$ 。由于 ${\textbf {Z}}$ 是环，且所有限制映射都是环同态，所以H是交换环层。