维纳-辛钦定理:修订间差异
Alexander Misel(留言 | 贡献) →连续时间过程的情形: // Edit via Wikiplus |
Alexander Misel(留言 | 贡献) →参考文献: // Edit via Wikiplus |
||
第58行: | 第58行: | ||
==参考文献== |
==参考文献== |
||
{{ |
{{Reflist|30em}} |
||
==延伸阅读== |
|||
*{{cite book |last=Brockwell |first=Peter A. |last2=Davis |first2=Richard J. |title=Introduction to Time Series and Forecasting |edition=Second |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=2002 |isbn=038721657X }} |
|||
*{{cite book |last=Chatfield |first=C. |title=The Analysis of Time Series—An Introduction |edition=Fourth |publisher=Chapman and Hall |location=London |year=1989 |isbn=0412318202 }} |
|||
*{{cite book |last=Fuller |first=Wayne |title=Introduction to Statistical Time Series |series=Wiley Series in Probability and Statistics |edition=Second |publisher=Wiley |location=New York |year=1996 |isbn=0471552399 }} |
|||
*{{cite paper |last=Wiener |first=Norbert |title=Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series |publisher=Technology Press and Johns Hopkins Univ. Press |location=Cambridge, Massachusetts |year=1949 }} (a classified document written for the Dept. of War in 1943). |
|||
*{{cite book |last=Yaglom |first=A. M. |title=An Introduction to the Theory of Stationary Random Functions |publisher=Prentice–Hall |location=Englewood Cliffs, New Jersey |year=1962 }} |
|||
[[Category:傅里叶分析]] |
[[Category:傅里叶分析]] |
2016年8月7日 (日) 02:46的版本
在应用数学中,维纳-辛钦定理(英語:Wiener–Khinchin theorem),又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理或辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。该定理指出:宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换。[1][2][3][4][5][6][7]
历史
諾伯特·維納在1930年证明了这个定理对于确定性函数的情况;[8] 辛钦后来对于平稳随机过程得出了类似的结果并且于1934年发表了它。[9][10] 阿尔伯特·爱因斯坦在1914年的一份简短的备忘录里阐述了这个想法,但并未给出证明。[11]
连续时间过程的情形
对于连续时间的情形,维纳-辛钦定理表明若 是一个宽平稳过程,以致其由统计期望值 E 定义的自相关函数(有时称作自协方差) 存在,并对所有延迟 都是有限的,则在频域 存在一个单调函数 使得
其中该积分为黎曼-斯蒂尔杰斯积分。[1][12] 这是自相关函数的一种谱分解。F 称为功率谱分布函数,是一个统计分布函数。它有时称作积分谱。
注意到 的傅里叶变换不总是存在,因为平稳随机过程不总是[[平方可積函數|平方可积}}或绝对可积。也不会假定 是绝对可积的,所以也不需要有傅里叶变换。
但若 是绝对连续的,例如当为纯粹不确定过程时, 幾乎處處可微。在这种情况下,可以通过对 取平均导数来定义 的功率谱密度 。因为 的左、右导数处处存在,所以处处都有 ,[13] (得到 F 为其平均导数的积分[14]),该定义简化为
若现在假设 r 和 S 满足傅里叶逆变换存在的必要条件,维纳-辛钦定理就能说 r 和 S 是一对傅里叶变换对
离散时间过程的情形
对于离散随机过程 ,其功率谱密度为
其中
且
是离散函数的功率谱密度。由于是采样得到的离散时间序列,其谱密度在频域上是周期函数。
应用
定理用于分析线性时不变系统(LTI系统)中,当输入和输出不是平方可积有用,因此它们的傅立叶变换不存在。必然结果是,该傅立叶一个LTI系统的输出的自相关函数的变换等于傅立叶变换的产物系统时间的输入的自相关函数的傅里叶变换的平方幅度变换系统脉冲响应的变换[15]这工作即使当傅立叶变换的输入和输出信号的不存在的,因为这些信号不平方可积,因此系统输入和输出可以不直接与由傅立叶脉冲响应的变换。
由于傅立叶的信号的自相关函数的变换是信号的功率谱,这必然等于说,该输出的功率谱等于输入倍的功率传递函数的功率谱。
这种推论是用在功率谱估计的参数方法。
表述差异
在许多教科书和在许多技术文献是默认假定的自相关函数的傅里叶变换和功率谱密度是有效的,以及维纳-辛钦定理很简单地指出,因为如果它表示傅里叶变换自相关函数等于功率谱密度,忽略收敛所有的问题。[15](爱因斯坦就是一个例子)。但是定理(陈述为这里),由诺伯特·维纳和亚历山大·辛钦应用于样品的功能(信号)宽感平稳随机过程,信号的傅立叶变换是不存在的。维纳的贡献的全部意义是使一个宽义平稳随机过程的一个样本函数自相关函数的谱分解感即使在积分进行傅立叶变换和傅立叶逆没有任何意义。
有些人提到与R作为自协方差函数。他们然后进行归一化,通过用R(0),划分以获得他们称之为自相关函数。
参见
参考文献
- ^ 1.0 1.1 C. Chatfield. The Analysis of Time Series—An Introduction fourth. Chapman and Hall, London. 1989: 94–95. ISBN 0-412-31820-2.
- ^ Norbert Wiener. Time Series. M.I.T. Press, Cambridge, Massachusetts. 1964: 42.
- ^ Hannan, E.J., "Stationary Time Series", in: John Eatwell, Murray Milgate, and Peter Newman, editors, The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Time Series and Statistics, Macmillan, London, 1990, p. 271.
- ^ Dennis Ward Ricker. Echo Signal Processing. Springer. 2003. ISBN 1-4020-7395-X.
- ^ Leon W. Couch II. Digital and Analog Communications Systems sixth. Prentice Hall, New Jersey. 2001: 406–409. ISBN 0-13-522583-3.
- ^ Krzysztof Iniewski. Wireless Technologies: Circuits, Systems, and Devices. CRC Press. 2007. ISBN 0-8493-7996-2.
- ^ Joseph W. Goodman. Statistical Optics. Wiley-Interscience. 1985. ISBN 0-471-01502-4.
- ^ Wiener, Norbert. Generalized Harmonic Analysis. Acta Mathematica. 1930, 55: 117–258.
- ^ Nahin, Paul J. Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. 2011: 225. ISBN 9780691150376.
- ^ Khintchine, A. Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. Mathematische Annalen. 1934, 109 (1): 604–615. doi:10.1007/BF01449156.
- ^ Jerison, David; Singer, Isadore Manuel; Stroock, Daniel W. The Legacy of Norbert Wiener: A Centennial Symposium (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). American Mathematical Society. 1997: 95. ISBN 0-8218-0415-4.
- ^ Hannan, E. J. Stationary Time Series. Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (编). The New Palgrave: A Dictionary of Economics. Time Series and Statistics. London: Macmillan. 1990: 271.
- ^ Chatfield, C. The Analysis of Time Series—An Introduction Fourth. London: Chapman and Hall. 1989: 96. ISBN 0-412-31820-2.
- ^ Champeney, D. C. A Handbook of Fourier Theorems. Cambridge Univ. Press. 1987: 20–22.
- ^ C. Chatfield. The Analysis of Time Series—An Introduction fourth. Chapman and Hall, London. 1989: 98. ISBN 0-412-31820-2.
延伸阅读
- Brockwell, Peter A.; Davis, Richard J. Introduction to Time Series and Forecasting Second. New York: Springer-Verlag. 2002. ISBN 038721657X.
- Chatfield, C. The Analysis of Time Series—An Introduction Fourth. London: Chapman and Hall. 1989. ISBN 0412318202.
- Fuller, Wayne. Introduction to Statistical Time Series. Wiley Series in Probability and Statistics Second. New York: Wiley. 1996. ISBN 0471552399.
- Wiener, Norbert. Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Cambridge, Massachusetts: Technology Press and Johns Hopkins Univ. Press. 1949. (a classified document written for the Dept. of War in 1943).
- Yaglom, A. M. An Introduction to the Theory of Stationary Random Functions. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice–Hall. 1962.