四維加速度

相對論中，四維加速度乃牛頓力學中三維加速度的對應推演，其為一個四維向量。四維加速度應用於反質子湮滅反應、奇異粒子共振、加速電荷的輻射現象等研究領域中。

慣性座標系中的四維加速度

在狹義相對論的慣性座標系中，四維加速度$\mathbf {A}$定義為四維速度$\mathbf {U}$對一移動物體之原時$\tau$的微分，也就是說

$\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right)$,

其中

$\mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}$ ，應用到三維加速度$\mathbf {a}$與三維速度$\mathbf {u}$；

以及

${\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}$

應用到速度$u$（$|\mathbf {u} |=u$）下的勞侖茲因子$\gamma _{u}$。變數上方的點代表對本參考系座標時間$t$的微分，而非對物體原時$\tau$的微分。也就是說${\dot {\gamma }}_{u}={d\gamma _{u} \over dt}$)。

在與該物體瞬時共同移動的慣性座標系中$\mathbf {u} =0$, $\gamma _{u}=1$以及${\dot {\gamma }}_{u}=0$。亦即在這樣的參考系中，

$\mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right)$。

幾何學上來看，四維加速度是移動物體世界線的曲率向量。

因此四維向量的大小（乃一純量）等同於物體沿世界線移動所「感受」到的固有加速度。

一物體的四維速度與四維加速度的內積（純量積)總是為0。

四維加速度與四維力之間有著簡單的關係式：

$F^{\mu }=mA^{\mu },$

其中m是物體的不變質量。

當四維力為零，則僅只重力現象影響物體的軌跡，與牛頓第二定律相應的四維向量版本簡化為測地線方程式。依測地線移動的物體，其四維加速度為零；這表示重力其實不是一種力，而是受到扭曲的時空幾何。相應地，在牛頓力學，重力被當作一種力，其作用以三維加速度處理。

非慣性座標系中的四維加速度

In non-inertial coordinates, which include accelerated coordinates in special relativity and all coordinates in general relativity, the acceleration four-vector is related to the four-velocity through an absolute derivative with respect to proper time.

$A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }$

In inertial coordinates the Christoffel symbols $\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ are all zero, so this formula is compatible with the formula given earlier.

In special relativity the coordinates are those of a rectilinear inertial frame, so the Christoffel symbols term vanishes, but sometimes when authors use curved coordinates in order to describe an accelerated frame, the frame of reference isn't inertial, they will still describe the physics as special relativistic because the metric is just a frame transformation of the Minkowski space metric. In that case this is the expression that must be used because the Christoffel symbols are no longer all zero.

相關條目

• 四維向量
• 四維速度
• 四維動量
• 四維力

參考文獻

• Papapetrou A. Lectures on General Relativity. D. Reidel Publishing Company. 1974. ISBN 90-277-0514-3. 
• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.