上下文无关语言

上下文无关语言是可以用上下文无关文法定义的形式语言。所有上下文无关语言的集合同一于下推自动机所接受的语言的集合。

例子

一个原型上下文无关语言是 $L = \{a^nb^n:n\geq1\}$，它是所有非空偶数长度字符串的语言，字符串的整个前半部分都是 $a$，整个后半部分都是 $b$。$L$ 由文法 $S\to aSb ~|~ ab$ 生成，并被下推自动机 $M=(\{q_0,q_1,q_f\}, \{a,b\}, \{a,z\}, \delta, q_0, \{q_f\})$ 接受，这里的 $\delta$ 定义如下：

$\delta(q_0, a, z) = (q_0, a)$

$\delta(q_0, a, a) = (q_0, a)$

$\delta(q_0, b, a) = (q_1, x)$

$\delta(q_1, b, a) = (q_1, x)$

$\delta(q_1, b, z) = (q_f, z)$

这里的 z 是初始栈符号而 x 意味着弹出动作。

上下文无关语言在编程语言中有很多应用。大多数算术表达式可用上下文无关文法生成。

闭包性质

上下文无关语言闭合于下列运算下。就是说，如果 L 和 P 是上下文无关语言而 D 是正则语言，下列语言也是上下文无关语言：

• L 的 Kleene星号 $L^*$
• L 在字符串同态 φ 下的像 φ(L)
• L 和 P 的串接 $L \circ P$
• L 和 P 的并集 $L \cup P$
• L 和（正则语言）D 的交集 $L \cap D$

上下文无关语言不闭合于补集，交集或差集下。

在交集下不闭包

上下文无关语言不闭合于交集下。其证明在 Sipser 97 中被作为习题给出。选用语言 $A = \{a^m b^n c^n \mid m, n \geq 0 \}$ 和 $B = \{a^n b^n c^m \mid m,n \geq 0\}$，它们都是上下文无关的。它们的交集是 $A \cap B = \{ a^n b^n c^n \mid n \geq 0\}$，它可以用上下文无关语言的泵引理证实为非上下文无关的。

可判定性性质

上下文无关语言的下列问题是不可判定的：

• 等价：给定两个上下文无关文法 A 和 B，$L(A)=L(B)$ 吗？
• $L(A) \cap L(B) = \emptyset$ 吗？
• $L(A)=\Sigma^*$ 吗？
• $L(A) \subseteq L(B)$ 吗？

上下文无关语言的下列问题是可判定的：

• $L(A)=\emptyset$ 吗？
• L(A) 是有限的吗？
• 成员关系：给定任何字 w，$w \in L(A)$ 吗？（成员关系问题甚至是多项式可判定的 - 参见CYK算法）

上下文无关语言的性质

• 上下文无关语言的反转（reverse）也是上下文无关的，但是补（complement）不必须是。
• 所有正则语言都是上下文无关的，因为它们可以用正则文法描述。
• 存在不是上下文无关的上下文有关语言。
• 要证明给定语言不是上下无关的，可以采用上下文无关语言的泵引理。

引用

• Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997. ISBN 0-534-94728-X.  Chapter 2: Context-Free Languages, pp.91–122.