内乘

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学中,内乘interior product,或译内积)是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子,定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场,那么

\iota_X\colon \Omega^p(M) \to \Omega^{p-1}(M)

是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 iXω,由性质

( \iota_X\omega )(X_1,\ldots,X_{p-1})=\omega(X,X_1,\ldots,X_{p-1})

所定义,对任何向量场 X1,..., Xp−1。本质上来说,内乘可以定义在向量空间与外代数上,即只与流形的一点有关。

内乘也称为内乘法(interiorinner multiplication),或内导数(inner derivativederivation)。

一些作者使用字母 i 代替 \iota;内乘有时也写成 \iota(X) 或者 X \lrcorner \omega = \iota_X\omega

性质[编辑]

由反对称性

 \iota_X \iota_Y \omega = - \iota_Y \iota_X \omega

所以  \iota_X^2 = 0

因为李导数与缩并可以交换,故:

\mathcal L_X (\iota_Y\omega)=\iota_{[X,Y]}\omega+\iota_Y (\mathcal L_X\omega)\ ,

这便得出两个向量李括号的内乘公式:

\iota_{[X,Y]}\omega=\mathcal L_X (\iota_Y\omega)-\iota_Y (\mathcal L_X\omega)\ .

内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出:

 \mathcal L_X\omega = \mathrm d (\iota_X \omega) + \iota_X \mathrm d\omega \ .

这个等式在辛几何中非常重要:参见矩映射

另见[编辑]