内乘

在数学中，内乘（interior product，或译内积）是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子，定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场，那么

$\iota_X\colon \Omega^p(M) \to \Omega^{p-1}(M)$

是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 i_Xω，由性质

$( \iota_X\omega )(X_1,\ldots,X_{p-1})=\omega(X,X_1,\ldots,X_{p-1})$

所定义，对任何向量场 X₁,..., X_p−1。本质上来说，内乘可以定义在向量空间与外代数上，即只与流形的一点有关。

内乘也称为内乘法（interior 或 inner multiplication），或内导数（inner derivative 或 derivation）。

一些作者使用字母 $i$ 代替 $\iota$；内乘有时也写成 $\iota(X)$ 或者 $X \lrcorner \omega = \iota_X\omega$。

性质

由反对称性

$\iota_X \iota_Y \omega = - \iota_Y \iota_X \omega$

所以 $\iota_X^2 = 0$。

因为李导数与缩并可以交换，故：

$\mathcal L_X (\iota_Y\omega)=\iota_{[X,Y]}\omega+\iota_Y (\mathcal L_X\omega)\ ,$

这便得出两个向量李括号的内乘公式：

$\iota_{[X,Y]}\omega=\mathcal L_X (\iota_Y\omega)-\iota_Y (\mathcal L_X\omega)\ .$

内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出：

$\mathcal L_X\omega = \mathrm d (\iota_X \omega) + \iota_X \mathrm d\omega \ .$

这个等式在辛几何中非常重要：参见矩映射。

另见

• 张量缩并