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德鲁德模型

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德鲁德模型中的电子(蓝色)不断在较重的、静止的晶体离子中间(红色)徘徊。

电传导德鲁德模型在1900年[1] [2]保罗·德鲁德提出,以解释电子在物质(特别是金属)中的输运性质。这个模型是分子运动论的一个应用,假设了电子在固体中的微观表现可以用经典的方法处理,很像一个钉球机,其中电子不断在较重的、相对固定的正离子之间来回反弹。

德鲁德模型的两个最重要的结果是电子的运动方程:

\frac{d}{dt}\mathbf{p}(t) = q\mathbf{E} - \frac{\mathbf{p}(t)}{\tau},

以及电流密度J电场E之间的线性关系:

\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.

在这里,t代表时间,pqnm\tau分别代表电子的动量、电荷、数密度、质量,以及与离子碰撞之间的平均自由时间。后一个表达式尤其重要,因为它用半定量的术语解释了为什么欧姆定律,电磁学中最普遍存在的一个关系,应该是正确的。[3] [4] [5]

解释[编辑]

直流电场[编辑]

德鲁德模型最简单的分析,假设了电场\mathbf{E}既是均匀的又是恒定的,且电子的热速度足够大,使得它们在碰撞之间仅仅积累了无穷小的动量d\mathbf{p},这平均每隔\tau秒发生一次。[6]

于是,在时间t分离的电子自从它最后一次碰撞将平均运动了\tau秒,因此将积累了动量:

d\langle\mathbf{p}\rangle = q \mathbf{E} \tau.

在它最后一次碰撞期间,这个电子向前面反弹的机会将刚刚与向后面反弹的机会相等,因此所有对电子动量的之前的贡献都可以忽略,便得到表达式:

\langle\mathbf{p}\rangle = q \mathbf{E} \tau.

代入以下关系:

\langle\mathbf{p}\rangle = m \langle\mathbf{v}\rangle,
\mathbf{J} = n q \langle\mathbf{v}\rangle,

便得出上面提到的欧姆定律的表述:

\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.

时变分析[编辑]

电子的运动也可以通过引入一个有效的阻力来描述。在时间t=t_0+dt,电子的平均动量将为:

\langle\mathbf{p}(t_0+dt)\rangle=\left( 1 - \frac{dt}{\tau} \right) \left(\langle\mathbf{p}(t_0)\rangle + q\mathbf{E}dt + ... \right),

由于平均来说,( 1 - dt/\tau )个电子将不经历另外一次碰撞,而那些经历另外一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献。[7]

经过一番计算,便得出以下的微分方程:

\frac{d}{dt}\langle\mathbf{p}(t)\rangle = q\mathbf{E} - \frac{\langle\mathbf{p}(t)\rangle}{\tau},

其中\langle\mathbf{p}\rangle表示平均动量,m表示有效质量,q表示电子的电荷。这是一个非齐次微分方程,它的通解为:

\langle\mathbf{p}(t)\rangle = q \tau \mathbf{E} + \mathbf{C} e^{-t/\tau}

于是,稳态解(\frac{d}{d t}\langle\mathbf{p}\rangle = 0)为:

\langle\mathbf{p}\rangle = q \tau \mathbf{E},

像上面一样,平均动量可以与平均速度有关,而这又可以与电流密度有关:

\langle\mathbf{p}\rangle = m \langle\mathbf{v}\rangle,
\mathbf{J} = n q \langle\mathbf{v}\rangle,

于是可以证明,物质满足欧姆定律,其直流电电导率为\, \sigma_0

\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.

德鲁德模型还可以预言在角频率为\, \omega的时变电场的响应下的电流,在这种情况下:

\sigma(\omega) = \frac{\sigma_0}{1 + i\omega\tau}.

这里假设了

E(t) = \Re(E_0 e^{i\omega t});
J(t) = \Re(\sigma(\omega) E_0 e^{i\omega t}).

还存在另一种惯例,所有方程中的\, i都用\, -i来代替。虚数部分表示电流落后于电场,这是由于电子大约需要时间\, \tau来对电场的变化作出响应。这里德鲁德模型是应用于电子的;它既可以应用于电子,又可以应用于空穴,也就是说,半导体中的正电荷载流子。

模型的准确性[编辑]

这个简单、经典的德鲁德模型提供了金属中的直流电和交流电传导、霍尔效应,以及热传导的非常好的解释。这个模型也解释了1853年发现的魏德曼-弗朗茨定律。然而,它大大高估了金属的电子热容。实际上,金属和绝缘体在常温下的热容大致上相等。虽然模型可以应用于正电荷(空穴)载流子,像霍尔效应所验证的那样,它并不预言它们的存在。

德鲁德在最初的论文中犯了一个概念性的错误,他估计电导率仅有实际值的一半。[8]

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der metalle. Annalen der Physik. 1900, 306 (3): 566. 
  2. ^ Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte. Annalen der Physik. 1900, 308 (11): 369. 
  3. ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 6–7. ISBN 0-03-083993-9. 
  4. ^ Edward M. Purcell. Electricity and Magnetism. McGraw-Hill. 1965: 117–122. ISBN 978-0070049086. 
  5. ^ David J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall. 1999: 289. ISBN 978-81-203-161-0 请检查|isbn=值 (帮助). 
  6. ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 6–7. ISBN 0-03-083993-9. 
  7. ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 11. ISBN 0-03-083993-9. 
  8. ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 23. ISBN 0-03-083993-9.