分子运动论

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理想单原子分子气体的温度是其分子的平均动能的量度。

分子运动论(又稱气体动理论分子动理论)是描述气体为大量做永不停息的随机运动的粒子(原子分子,物理学上一般不加区分,都称作分子)。快速运动的分子不断地碰撞其他分子或容器的壁。分子动理论就是通过分子组分和运动来解释气体的宏观性质,如压强温度体积等。分子动理论认为,压强不是如牛顿猜想的那样,来自分子之间的静态排斥,而是来自以不同速度做布朗运动的分子之间的碰撞。

分子太小而不能直接看到。显微镜下花粉颗粒或尘埃粒子做的无规则运动——布朗运动,便是分子碰撞的直接结果。这可以作为分子存在的证据。

理论假设[编辑]

理想气体动理论建立在如下假设之上:

  • 气体由大量小粒子组成,这些小粒子称之为分子。分子之间的距离远远大于自身的大小。
  • 所有分子都具有相同的质量。
  • 分子数量巨大,可以进行统计处理。
  • 分子做着不息的快速的随机运动。
  • 分子不断彼此碰撞,或与容器器壁进行碰撞,这些碰撞都是弹性碰撞。
  • 除了碰撞之外,分子之间的相互作用可以忽略。
  • 气体分子平均平动动能只依赖于系统温度。
  • 分子与容器器壁的碰撞时间远远小于两次碰撞间隔时间。
  • 分子具有质量,会受到万有引力的影响。

分子动理学的现代理论建立在波尔兹曼方程英语Boltzmann equation的基础之上,对以上假设有所放宽,并将分子体积考虑进去,因此可以精确描述稠密气体。分子动理学的现代理论仍然要考虑的假设有,分子混沌英语Molecular chaos性假设,忽略量子效应。如果气体比较稠密,本体性质只有小的梯度,可以应用维里展开的方法研究,这方面的理论参见查普曼和恩斯克格的专著。[1] 对于稀薄气体,本体性质的梯度与分子的平均自由程相比较,这种情况叫克努森区,可以对克努森数展开来研究。

发展过程[编辑]

《流体力学》封面

人类早在公元前5世纪就开始思考物质的结构问题。古希腊时期著名的朴素唯物主义哲学家德谟克利特就提出,物质是由不可分的原子构成的。这种思想在数个世纪都深刻的影响着人们的世界观。17世纪科學革命以来,自然科学得到了突飞猛进的进步,特别是热力学的突破性发展,使人们重新思考物质的结构问题。伽桑迪罗伯特·胡克伯努利等科学家的研究表明,物质的液体固体气体三种状态的转变是因为分子之间作用的结果,特别是气体的压力源于气体分子与器壁碰撞,从而导出了玻意耳-马略特定律

1738年,丹尼尔·伯努利发表著作《流体力学》,为气体动理论的基础。在这一著作中,伯努利提出,气体是由大量向各个方向运动的分子组成的,分子对表面的碰撞就是气压的成因,热就是分子运动的动能。但是,伯努利的观点并没有被立即接受,部分原因是,能量守恒定律当时还没有建立,分子之间为弹性碰撞也不是那么显而易见。1744年罗蒙诺索夫第一次明确提出热现象是分子无规则运动的表现,并把機械能守恆定律应用到了分子运动的热现象中。1856年,奥古斯特·克罗尼格英语August Krönig提出了一个简单的气体动理论,他只考虑了分子的平动。[2] 1857年,克劳修斯提出一个更复杂的气体动理论,除了分子的平动,他还考虑了分子的转动和振动。他还引入了平均自由程的概念。[3]1859年,麦克斯韦在克劳修斯工作的基础上,提出了分子麦克斯韦速度分布率。这是物理学史上第一个统计定律。[4] 1871年,玻尔兹曼推广了麦克斯韦的工作,提出了麦克斯韦–玻尔兹曼分布[5]:36-37

直到20世纪初,很多物理学家仍然认为原子只是假想,并非实在的。直到1905年爱因斯坦[6]和1906年马利安·斯莫鲁霍夫斯基英语Marian Smoluchowski[7]关于布朗运动的论文发表之后,物理学家才放弃此想法。他们的论文给出了分子动理论的准确预言。

意义[编辑]

分子运动论使人类正确认识到了物质的结构组成和运动的一般规律,成功解释了诸如布朗运动等现象,并成为物理学中其他理论,甚至很多其他学科的理论基础。

性质[编辑]

压强和动能[编辑]

在氣體動力論中,壓力是以氣體對某個平面撞擊所造成的力解釋,假設一個邊長為 l 的正立方體,一顆質量為 m 的分子以速率 v 在完全彈性碰撞的情況下,沿 X 軸撞擊其中一面的動量變化為:

\Delta P = mv_x - (- mv_x) = 2mv_x

此分子每隔 \frac{2l}{v_x} 便撞擊該面一次,因此該面所受到的力量為:

 F_x = \frac{\Delta P}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\frac{2l}{v_x}} = \frac{mv_x^2}{l}

在一共有 n 個相同分子的狀況下,該面所受到的總力為:

 F_x = \frac{mv_{x1}^2+mv_{x2}^2+mv_{x3}^2+\cdots+mv_{xn}^2}{l} = \frac{m( \sum_{k=1}^n v_{xk}^2)}{l}

定義:

 \bar{v_x^2} \equiv \frac{\sum v_{xn}^2}{n}  F_x = \frac{mn\bar{v_x^2}}{l}

用相同的方式也可以得到:

 F_y = \frac{mn\bar{v_y^2}}{l} F_z = \frac{mn\bar{v_z^2}}{l}
\bar{v^2} = \bar{v_x^2} + \bar{v_y^2} + \bar{v_z^2}

因為大量氣體分子的運動可以視為無規則的運動,因此大量氣體分子向每一方向的速率分布情形皆相同,所以:

\bar{v_x^2} = \bar{v_y^2} = \bar{v_z^2}\bar{v^2} = 3\bar{v_x^2}

其中一個面所受到的壓力為:

P = \frac{F}{A} = \frac{mn\frac{\bar{v^2}}{3}}{l^3} = \frac{mn\bar{v^2}}{3l^3} = \frac{mn\bar{v^2}}{3V}
PV = \frac{nm\bar{v^2}}{3} = \frac{2n\cdot\frac{m\bar{v^2}}{2}}{3} = \frac{2n\bar{E}}{3}

其中 \bar{v_x^2}方均根,因此也可表示為:

PV = \frac{nmv_{rms}^2}{3}

这是分子动理论的第一个非平庸的结果,它把宏观量压强与微观量分子的平均平动动能联系起来。

温度與動能[编辑]

根據理想氣體方程式PV = Nk_BTk_B波茲曼常數T絕對溫度):

PV = Nk_BT = \frac{nm\overline{v^2}}{3} \Rightarrow T = \frac{m\overline{v^2}}{3k_B}

于是可得单个分子的动能为:

\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}k_BT

而系統的總动能K可表示為:

K = N\cdot\frac{1}{2}m\overline{v^2}^2 = \frac{3}{2}Nk_BT
\frac{2}{3}K = Nk_BT

这是分子动理论中的一个重要结果:分子的平均动能正比于体系的绝对温度。

PV = Nk_BT = \frac{2}{3}K

因此,压强与摩尔体积之积与分子平均平动动能成正比。 对于由N个单原子分子组成的气体体系,自由度总数为3N,因此每个自由度的动能是

\frac{K}{3N}=\frac{k_BT}{2}

每个自由度的动能正比于温度,比例系数为波尔兹曼常数的一半,这个结果叫做能量均分定理

对容器的碰撞[编辑]

对于理想气体,可以推导出n[8] 单位时间内分子对容器单位面积的次数为

A = \frac{1}{4}\frac{N}{V} v_{avg} = \frac{n}{4} \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{\pi m}} . \,

分子的运动速度[编辑]

v_{\rm rms}^2 = \frac{3RT}{\text{molar mass}}

其中 v 為米/秒 (m/s),R是理想氣體常數,molar mass 為莫耳質量(千克/莫耳 (kg/mol))。其中最有可几速度為均方根速度的81.6%,而平均速度為均方根速度的92.1%。(麦克斯韦-玻尔兹曼分布

参考资料[编辑]

  1. ^ Sydney Chapman and T.G. Cowling (1970). The Mathematical Theory of Non-uniform Gases: An Account of the Kinetic Theory of Viscosity, Thermal Conduction and Diffusion in Gases, third edition (Cambridge University Press).
  2. ^ Krönig, A., Grundzüge einer Theorie der Gase, Annalen der Physik. 1856, 99 (10): 315–322, doi:10.1002/andp.18561751008, Bibcode 1856AnP...175..315K 
  3. ^ Clausius, R., Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen, Annalen der Physik. 1857, 176 (3): 353–379, doi:10.1002/andp.18571760302, Bibcode 1857AnP...176..353C 
  4. ^ Mahon, Basil, The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell, Hoboken, NJ: Wiley. 2003, ISBN 0-470-86171-1 
  5. ^ L.I Ponomarev; I.V Kurchatov. The Quantum Dice. CRC Press. 1 January 1993. ISBN 978-0-7503-0251-7. 
  6. ^ Einstein, A., Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Annalen der Physik. 1905, 17 (8): 549–560, doi:10.1002/andp.19053220806, Bibcode 1905AnP...322..549E 
  7. ^ Smoluchowski, M., Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen, Annalen der Physik. 1906, 21 (14): 756–780, doi:10.1002/andp.19063261405, Bibcode 1906AnP...326..756V 
  8. ^ Collisions With a Surface

相关名词[编辑]