柯西-利普希茨定理

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在数学中,柯西-利普希茨定理(Cauchy-Lipschitz Theorem),又称皮卡-林德勒夫定理(Picard-Lindelöf Theorem),保证了一元常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西1820年发表,但直到1868年,才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理,得名于数学家埃米尔·皮卡恩斯特·林德勒夫

局部定理[编辑]

 \mathbb E为一个完备的有限维赋范向量空间(即一个巴拿赫空间),f为一个取值在 \mathbb E上的函数:


\begin{matrix}f : & U \times I & \longrightarrow & \mathbb E  \\
& (x,t) & \longmapsto & f(x,t)\end{matrix}

其中U \subset \mathbb E \mathbb E 中的一个开集I \subset \mathbb R \mathbb R中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程

\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}  =  f(x(t),t) \qquad \qquad  (1)

如果 f 关于 t 连续,并在 U 中满足利普希茨条件,也就是说,

 \exists k>0,\ \forall t \in I,\ \forall x,y \in U,\  \left| \left| f(x,t) - f(y,t)  \right| \right|  \le  k  \left| \left| x - y \right| \right|

那么对于一个给定的初始条件: x(t_0) =  x_0,其中 t_0 \in  Ix_0 \in U,微分方程(1)存在一个解 (J,x(t)),其中 J \subset I 是一个包含 t_0 的区间,x(t) 是一个从 J 射到 U 的函数,满足初始条件和微分方程(1)。

局部唯一性:在包含点t_0的足够小的J区间上,微分方程(1)的解是唯一的(或者说,方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的)。

这个定理有点像物理学中的决定论思想:当我们知道了一个系统的特性(微分方程)和在某一时刻系统的情况(x(t_0) =  x_0)时,下一刻的情况是唯一确定的。

局部定理的证明[编辑]

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列y_{n+1} = \Phi (y_n),使得 \Phi^\prime (y_n) = f(y_n,t),这样,如果这个序列有一个收敛点 y ,那么y为函数\Phi不动点,这时就有 y^\prime = \Phi^\prime (y) = f(y,t),于是我们构造出了一个解y。为此,我们从常数函数

y_0(t)=x_0 \ 开始。令
\Phi(y_i)(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(y_{i-1}(s),s)\,ds.

这样构造出来的函数列(y_i)_{i \ge 0}中的每个函数都满足初始条件。并且由于 fU 中满足利普希茨条件,当区间足够小的时候,\Phi成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理,存在关于\Phi的稳定不动点,于是可知微分方程(1)的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个,因此在足够小的区间内解是唯一的。

最大解定理[编辑]

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上,对于微分方程(1)的任意解\ (J,x(t))(J^\prime ,x^\prime(t)),定义一个序关系:\ (J,x(t))小于(J^\prime ,x^\prime(t))当且仅当 J \subset J^\prime ,并且x^\prime(t)\ J上的值与\ x(t)一样。在这个定义之下,柯西-利普希茨定理断言,微分方程的最大解是唯一存在的

证明思路[编辑]

解的唯一性:假设有两个不同的最大解,那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同,将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上,则会得到一个更“大”的解(只需验证它满足微分方程),矛盾。因此解唯一。

解的存在性:证明需要用到佐恩引理,构造所有解的并集。

扩展至高阶常微分方程[编辑]

对于一元的高阶常微分方程

F \left( t,y(t),y^\prime (t) \cdots  y^{(n-1)}(t) \right) =y^{(n)}(t) \qquad \qquad (2)

只需构造向量Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots,\ y^{(n-1)}(t))和相应的映射\ \Phi,就可以使得(2)变为Y^\prime (t) = \Phi(Y(t),t)。这时的初始条件为Y(t_0)=Y_0,即


\begin{matrix} y(t_0)=y_0  \\
y^\prime (t_0)=y_1  \\
\vdots \\
y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1}
\end{matrix}

扩展至偏微分方程[编辑]

对于偏微分方程,有柯西-利普希茨定理的扩展形式:柯西-克瓦列夫斯基定理,保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

相关链接[编辑]